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幾何学における平面上のメビウス変換（メビウスへんかん、）は、 : の形で表される複素一変数 ''z'' に関する有理函数である。ここで、係数 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' は ''ad'' − ''bc'' ≠ 0 を満足する複素定数である。 メビウス変換の名はアウグスト・フェルディナント・メビウスの業績に因むものだが、ほかにも平射変換や一次分数変換あるいは単に一次変換などと呼ばれることもある。 メビウス函数を用いたメビウスの反転公式などに用いられる、数論的函数に対するある種の変換〔具体的には μ をメビウス函数として で与えられる。〕もまたメビウス変換 と呼ばれることがあるが、それと混同してはならない。また（メビウス変換はメビウスに因む有理函数だからといっても）メビウス函数自体とも混同すべきではない。 == 概要 == メビウス変換は通例、ガウス平面にただひとつの無限遠点を付け加えて得られる拡張複素平面 : 上で定義されるものとして扱われる。拡張複素平面はリーマン球面と呼ばれる球面とみることもできるし、複素射影直線 CP1 とみることもできる。どんなメビウス変換も、リーマン球面からそれ自身への全単射な共形変換になり、また逆にそのような変換は実際にメビウス変換とならねばならない。 メビウス変換全体の成す集合は写像の合成を積として、メビウス群と呼ばれる群を成す。メビウス群は（リーマン球面をリーマン面とみなしたときの）リーマン球面上の自己同型群であり、しばしば : と記される。メビウス群は双曲的三次元空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群に同型で、それゆえ双曲的三次元多様体の研究において重要な役割を演じる。 物理学においては、メビウス群がリーマン球面に作用するのと同じやり方で、ローレンツ群の単位成分が天球に作用する（実はこれらふたつの群は同型である）。相対論的速度にまで加速した観測者には、地球付近での見え方から無限小メビウス変換に従って連続的に変形された星座が見えているはずである。このような考察はしばしばツイスター理論の出発点として行われる。 メビウス群のいくつかの部分群は（ガウス平面や双曲平面などの）単連結リーマン面上の自己同型群を成す。そのような事情から、メビウス変換はリーマン面の理論においても重要な働きをする。どんなリーマン面の基本群もメビウス群の離散部分群となるのである（フックス群、クライン群など参照）。メビウス群の特に重要な離散部分群としてモジュラー群があり、それはフラクタルやモジュラー形式、楕円曲線あるいはペル方程式などといった多くの理論において中心的な役割を果たしている。 もっと一般に ''n'' > 2 なる次元を持つ空間においても、メビウス変換を ''n''-次元超球面からそれ自身への向きを保つ全単射共形変換として定義することができる（そのような変換はその領域における共形変換のもっとも一般な形のものである）。に従えば、メビウス変換は平行移動、相似変換、直交変換、反転の合成として表すことができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「メビウス変換」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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