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数学におけるモノイド圏（モノイドけん、）あるいはテンソル圏（テンソルけん、）は、（自然同型の違いを除いて結合的な双函手 ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 ''I'' を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、''R''-加群、''R''-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏 を定義する際にも使われる。 モノイダル圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、ブレイドつきモノイダル圏は場の量子論やひも理論に応用をもつ。 == 形式的定義 == モノイダル圏は * テンソル積あるいはモノイド積と呼ばれる双函手 ⊗: C × C → C, * 単位対象と呼ばれる対象 ''I'', * 以下の事実 によって表される特定のコヒーレンス条件に従うみっつの自然同型 α, λ, ρ* テンソル積は結合的である。つまり成分がで与えられる、結合性と呼ばれる自然同型 α が存在する。 * テンソル積は左単位元と右単位元を持つ。つまり、成分がそれぞれで与えられ、それぞれ左恒等性、右恒等性と呼ばれるふたつの自然同型 λ, ρ が存在する。 を備えた圏 C = (C, ⊗, ''I'', α, λ, ρ) である。ここで、これらの自然変換に対するコヒーレンス条件とは次のようなものである。 * C の任意の対象 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' に対し、図式は可換である。 * C の任意の対象 ''A'' に対し、図式は可換である。 これらの三つの条件から、そのような（すなわち、射がα, λ, ρ, 恒等射, テンソル積の組合せからなる）任意の図式が可換となることが従う（マックレーンのコヒーレンス定理）。 自然変換 α, λ, ρ が恒等変換であるようなモノイド圏は、強モノイド圏あるいは狭義のモノイド圏 であるという。任意のモノイド圏は、ある強モノイド圏にモノイド同値である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「モノイド圏」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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