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ライプニッツの法則 : ウィキペディア日本語版
積の微分法則[せきのほうそく]
微分積分学における積の法則(せきのほうそく、;ライプニッツ則)は、二つ(あるいはそれ以上)の函数の積の導函数を求めるのに用いる公式で、
:(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g',
あるいはライプニッツの記法では
:\dfrac(u\cdot v)=u\cdot \dfrac+v\cdot \dfrac
と書くことができる。あるいは無限小(あるいは微分形式)の記法を用いて
: d(uv)=u\,dv+v\,du
と書いてもよい。三つの函数の積の導函数は
:\dfrac(u\cdot v \cdot w)=\dfrac \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac
である。
== 発見者について ==
積の法則の発見者はライプニッツであると言われる(ただし、 はアイザック・バローによるものだと主張する)。ライプニッツは無限小(微分)を用いてこれを示した。その内容は、''u''(''x''), ''v''(''x'') を ''x'' を変数とする二つの可微分函数とするとき、積 ''uv'' に対応する無限小は
:
\begin
d(u\cdot v) & = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv
\end

で与えられるはずだが、項 は( および に比べて)「無視できる」(高位の無限小)ことから、ライプニッツは
: d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv
であると結論付けた。実際これが積の法則の微分形である。両辺を無限小 で割るならば
: \frac (u\cdot v) = v \cdot \frac + u \cdot \frac
が得られ、これはまたラグランジュの記法によって
: (u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'
と書くこともできる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「積の微分法則」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Product rule 」があります。



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