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ライプニッツの級数 : ウィキペディア日本語版
ライプニッツの公式[-こうしき]
ライプニッツの公式(-こうしき、)とは円周率の値を求めるための公式の一つである。以下の級数で表される。
:1-\frac +\frac -\frac +\frac -\cdots = \frac
これは初項が 1 で各項が奇数逆数である交項級数が (= 0.785398…) に収束することを意味する。総和の記号を用いると以下のようになる。
:\sum_^\infty \frac = \frac
この公式を名付けたのはライプニッツであるが、これはすでに15世紀インド数学者マーダヴァがライプニッツより300年ほど前に発見していたものである。公式の発見がマーダヴァの功績であることを示すためにマーダヴァ-ライプニッツ級数と呼ばれることもある。
== 証明 ==

=== 冪級数展開を用いる証明 ===
三角関数の一つ tan θ を θ について微分すると
:\frac \tan \theta =1+\tan^2 \theta
となる。ここで tan θ = ''x'' とおくと
:\frac = 1+x^2 ,\quad \frac = \frac \quad \cdots (1)
が導かれる。
また以下の等比級数を考える。
:1-x^2 +x^4 -x^6 + x^8 -\cdots =\frac \qquad (|x|< 1)\quad \cdots (2)
左辺は公比が −''x'' であり、|−''x''| < 1 すなわち |''x''| < 1 のとき 1/(1 + ''x'') に収束する。
(1), (2)式から
:\frac =1-x^2 +x^4 -x^6 +x^8 -\cdots \qquad (|x|<1)
が得られる。この両辺を ''x'' について項別積分すれば
:\theta =x-\frac +\frac -\frac +\frac -\cdots \qquad (|x|<1)\quad \cdots (3)
となる。(''x'' = 0 のとき θ = 0 であるから定数項は 0 である。)tan θ = ''x'' としたので θ = のとき ''x'' = 1 である。これを利用して(3)式に θ = と ''x'' = 1 を代入すると
:\frac =1-\frac +\frac -\frac +\frac -\cdots
という式が現れる。ただし ''x'' = 1 は |''x''| < 1 の条件に反するので(3)式に ''x'' = 1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている(アーベルの連続性定理)。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ライプニッツの公式」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Leibniz formula for π 」があります。



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