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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ランチョス法 ： ウィキペディア日本語版 ランチョス法[らんちょすほう] ランチョス法（）とは、対象となる対称行列を三重対角化する手法。 コルネリウス・ランチョスによって開発された反復計算法である。クリロフ部分空間法の一つ。 == 概要 == 行列 $A$ を $n\backslash times\; n$ の対称行列とする。 これが直交行列 $P$ によって三重対角行列 $B$ に直交変換されたとする。 :$B\; =\; P^AP$ ここで、$A$ が対称であるから $B$ も対称である。 そこで、三重対角化された行列 $B$ の成分を次のようにおくことにする。 $$ B= \left( \begin \alpha_&\beta_& & & & &\\ \beta_&\alpha_&\beta_& & &0&\\ &\beta_&\alpha_&\beta_& & &\\ & &\ddots&\ddots&\ddots& &\\ & 0 & & &\ddots&\alpha_&\beta_\\ & & & & &\beta_&\alpha_\\ \end \right) 一方、直交行列 $P$ の第 $k$ 列のベクトルを $\backslash boldsymbol\; u\_$ とすると、$P$ の直交性から :$$ \boldsymbol u_^ \boldsymbol u_ = \left\ \begin 0;&i\neq j\\ 1;&i=j \end \right. が成立する。 また上記の直交変換はつぎのように書くことができる。 :$AP\; =\; PB$ ランチョス法とは、この関係から直接変換行列 $P$ すなわちベクトル $\backslash boldsymbol\; u\_$ を定めながら、それと同時に三重対角化を行っていく方法である。 行列 $B$ に値を入れ、各列を比較すると次式が得られる。 :$$ \left\ \begin A \boldsymbol u_=\alpha_\boldsymbol u_+\beta_\boldsymbol u_\\ A \boldsymbol u_=\beta_\boldsymbol u_+\alpha_\boldsymbol u_+\beta_\boldsymbol u_\\ \cdots\\ A \boldsymbol u_=\beta_\boldsymbol u_+\alpha_\boldsymbol u_+\beta_\boldsymbol u_\\ \cdots\\ A \boldsymbol u_=\beta_\boldsymbol u_+\alpha_\boldsymbol u_ \end \right. 第 $k$ 行目の式に左から $\backslash boldsymbol\; u\_^$ を乗じると、直交性より以下のように $\backslash alpha\_$ が求められる。 :$\backslash alpha\_=\backslash boldsymbol\; u\_^\; A\; \backslash boldsymbol\; u\_$ また、$\backslash boldsymbol\; u\_^,\; u\_^$ がすでに求められているとすると、$\backslash boldsymbol\; u\_^$ はつぎのように計算することができる。 まず $\backslash boldsymbol\; v\_\; =\; \backslash beta\_k\; \backslash boldsymbol\; u\_$ を :$\backslash boldsymbol\; v\_\; =\; A\; \backslash boldsymbol\; u\_\; -\; \backslash beta\_\backslash boldsymbol\; u\_\; -\; \backslash alpha\_\; \backslash boldsymbol\; u\_$ によって求める。つぎに $\backslash boldsymbol\; u\_$ の正規化条件 $\backslash boldsymbol\; u\_^\backslash boldsymbol\; u\_=1$ を満足させるために $\backslash beta\_$ を :$\backslash beta\_\; =\; ||\backslash boldsymbol\; v\_||\_$ と定める。そして、 :$\backslash boldsymbol\; u\_\; =\; \backslash dfrac\backslash boldsymbol\; v\_$ とすればよい。 このようにして、$||\backslash boldsymbol\; u\_||\_=1$ なる任意の初期ベクトル $\backslash boldsymbol\; u\_$ からはじめて順次 $\backslash alpha\_,\; \backslash beta\_$ を計算することにより三重対角行列 $B$ を求めることができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ランチョス法」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.