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ランベルトのW関数(ランベルトのだぶりゅーかんすう、Lambert's W function) とは、次の関数の逆関数である。 ただし、''e''''w'' は指数関数、 は任意の複素数である。 == 概要 == 「ランベルトのW関数」という名前は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト にちなんで名づけられた。また、オメガ関数(―かんすう、Omega function)、対数積(たいすうせき、product log) という呼び名もある。 ランベルトのW関数は、通常 と表記される。ここで、任意の複素数 に対して、次式が成立する。 関数 ''f'' は (−∞, 0) において単射ではないため、関数 ''W'' は 多価となる。もし、定義域を実数 ''x'' ≥ −、値域を ''w'' ≥ − 1 に制限するとすれば (これを分岐 (branch cut, en) と呼ぶ)、グラフで示した一価の関数 ''W''0(''x'') が定義される。特に、''W''0(0)=0, ''W''0(−)=−1 である。 ランベルトのW関数は、初等関数では表現できない。これは、木の数え上げなどの、組合せ論の分野において有用である。また、これは、指数関数を含む様々な方程式を解くのに使われたり、''y''′(''t'') = ''ay''(''t''−1) のような(''time-delayed differential equations'') の解に現れたりする。 陰関数の微分公式によって、''W'' を次のような微分方程式を満たすものとして表示できる。 ''W''0 の 0 近傍におけるテイラー級数は、を用いると求めることができ、次式で与えられる。 ダランベールの収束判定法によると、収束半径は である。この級数によって定義された関数は、定義域が複素数全体で、分岐を区間 (−∞, ">0) で多価となる。もし、定義域を実数 ''x'' ≥ −、値域を ''w'' ≥ − 1 に制限するとすれば (これを分岐 (branch cut, en) と呼ぶ)、グラフで示した一価の関数 ''W''0(''x'') が定義される。特に、''W''0(0)=0, ''W''0(−)=−1 である。 ランベルトのW関数は、初等関数では表現できない。これは、木の数え上げなどの、組合せ論の分野において有用である。また、これは、指数関数を含む様々な方程式を解くのに使われたり、''y''′(''t'') = ''ay''(''t''−1) のような(''time-delayed differential equations'') の解に現れたりする。 陰関数の微分公式によって、''W'' を次のような微分方程式を満たすものとして表示できる。 ''W''0 の 0 近傍におけるテイラー級数は、を用いると求めることができ、次式で与えられる。 ダランベールの収束判定法によると、収束半径は である。この級数によって定義された関数は、定義域が複素数全体で、分岐を区間 (−∞, に持つ正則関数に拡張することができる。この関数は、ランベルトのW関数の主値として定義される。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ランベルトのW関数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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