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リースの表現定理（リースのひょうげんていり、）とは、数学の関数解析学の分野におけるいくつかの有名な定理に対する呼称である。リース・フリジェシュの業績に敬意を表して、そのように名付けられた。 == ヒルベルト空間の表現定理 == この定理は、ヒルベルト空間とその（連続的）双対空間の間に、ある重要な関係性を構築するものである。すなわち、基礎体が実数体であるなら、それら二つの空間は等長同型であり、複素数体であるなら、それらは等長である、ということについてこの定理は述べている。そのような（反）同型性は、以下で述べるように、とりわけ自然なものである。 ''H'' をヒルベルト空間とし、''H'' から体 R あるいは C へのすべての連続線型汎関数からなる双対空間を ''H *'' と表す。''x'' が ''H'' の元であるなら、 : で定義される関数 φ''x'' は ''H *'' の元である。但し、 はヒルベルト空間の内積を表すものとする。リースの表現定理では、''H *'' の「すべての」元に対して、このような形での表記法が一意に存在する、ということが述べられている。 定理 Φ(''x'') = φ''x'' で定義される写像 Φ: ''H'' → ''H *'' は、等長（反）同型である。すなわち、 * Φ は全単射。 * ''x'' と Φ(''x'') のノルムは等しい：. * Φ は加法的である：. * 基礎体が R であるなら、すべての実数 λ に対して が成り立つ。 * 基礎体が C であるなら、すべての複素数 λ に対して が成り立つ。但し、 は λ の複素共役を表す。 Φ の逆写像は次のように表される。''H *'' の与えられた元 φ に対し、その核の直交補空間は、''H'' の一次元部分空間である。そこからゼロでない元 ''z'' を選び、 とする。このとき、Φ(''x'') = φ が得られる。 歴史的に、この定理はしばしばリースとフレシェの二人の 1907 年の業績として扱われる（参考文献を見られたい）。 量子力学を数学的に取り扱う際には、この定理は有名なブラ-ケット記法の正当化として考えられる。定理が成立するとき、すべてのケットベクトル には対応するブラベクトル が存在し、その対応は明らかなものである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「リースの表現定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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