翻訳と辞書 Words near each other ・ ルジニャン ・ ルジミワ ・ ルジャニ族 ・ ルジャンテル ・ ルジャンドル ・ ルジャンドルのχ函数 ・ ルジャンドルのχ関数 ・ ルジャンドルのカイ関数 ・ ルジャンドルの多項式 ・ ルジャンドルの微分方程式 ・ ルジャンドルの関係式 ・ ルジャンドル・フェンシェル変換 ・ ルジャンドル予想 ・ ルジャンドル函数 ・ ルジャンドル変換 ・ ルジャンドル多項式 ・ ルジャンドル記号 ・ ルジャンドル関数 ・ ルジャンドル陪函数 ・ ルジャンドル陪関数 Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ルジャンドルの関係式 ： ウィキペディア日本語版 ルジャンドルの関係式[るじゃんどるのかんけいしき] 数学において、ルジャンドルの関係式(Legendre relation)は第一種完全楕円積分と第二種完全楕円積分の間に成立する恒等式である。 :$K(k)E\backslash left(\backslash sqrt\backslash right)+E(k)K\backslash left(\backslash sqrt\backslash right)-K(k)K\backslash left(\backslash sqrt\backslash right)=\backslash frac$ == 証明 == 完全楕円積分の導関数 :$\backslash begink\backslash fracE(k)$ &=k\frac\frac\left(1-\sum_^\right)\\ &=\frac\sum_^\left(\frac\right)^2\left(-\frac-1\right)k^\\ &=E(k)-K(k) \end :$\backslash begink\backslash fracK(k)$ &=k\frac\frac\left(1+\sum_^\right)\\ &=\frac\sum_^\\ &=k^2\left(k \fracK(k)+K(k)\right)+E(k)-K(k) \end :$k(1-k^2)\backslash fracK(k)=E(k)-(1-k^2)K(k)$ から、微分方程式 :$\backslash begin\backslash frac\backslash left(k(1-k^2)\backslash fracK(k)\backslash right)$ &=\frac-(1-k^2)\frac+2kK(k)\\ &=\frac+2kK(k)\\ &=kK(k)\\ \end が得られるが、ここで$k\text{'}=\backslash sqrt$とすれば :$\backslash begin\backslash frac\backslash left(k(1-k^2)\backslash fracK(k\text{'})\backslash right)$ &=\frac\frac\left(k(1-k^2)\frac\fracK(k')\right)\\ &=\frac\frac\left(k^2\sqrt\fracK(k')\right)\\ &=\frac\frac\left((1-k'^2)k'\fracK(k')\right)\\ \end であるから$K\text{'}(k)=K(k\text{'})$も同じ微分方程式の解になる。$Y(k)=\backslash sqrtK(k)$とすれば :$\backslash begin\backslash fracY(k)$ &=\sqrt\fracK(k)+\frac\fracK(k)+\fracK(k)\\ &=\frac\left(k(1-k^2)\fracK(k)+(1-3k^2)\fracK(k)+\fracK(k)\right)\\ &=\frac\left(\frac\left(k(1-k^2)\fracK(k)\right)+\fracK(k)\right)\\ &=\frac\left(kK(k)+\fracK(k)\right)\\ &=-\fracY(k)\\ \end となり、$Y\text{'}(k)=\backslash sqrtK\text{'}(k)$も同様である。故に :$\backslash frac=-\backslash frac=\backslash frac$ であるから :$Y(k)\backslash fracY\text{'}(k)-Y\text{'}(k)\backslash fracY(k)=0$ :$\backslash sqrtK(k)\backslash frac\backslash left(\backslash sqrtK\text{'}(k)\backslash right)-\backslash sqrtK\text{'}(k)\backslash frac\backslash left(\backslash sqrtK(k)\backslash right)=0$ が成立する。積分して整理すると :$k(1-k^2)\backslash left(K(k)\backslash fracK\text{'}(k)-K\text{'}(k)\backslash fracK(k)\backslash right)=C$ となり、これに :$\backslash fracK(k)=\backslash frac$ :$\backslash fracK\text{'}(k)=\backslash fracK\backslash left(\backslash sqrt\backslash right)=\backslash frac\backslash frac=-\backslash frac$ を代入すると :$K(k)E\text{'}(k)+E(k)K\text{'}(k)-K(k)K\text{'}(k)=-C$ が得られる。不完全楕円積分の極限を用いて : &=\lim_F(x,0)E(x,1)+E(x,0)F(x,1)-F(x,0)F(x,1)\\ &=\lim_\sin^x\left(x+\tanh^x-\tanh^x\right)\\ &=\frac\\ \end が得られる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ルジャンドルの関係式」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.