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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ワッサースタイン計量 ： ウィキペディア日本語版 ワッサースタイン計量[わっさーすたいんけいりょう] 数学の分野におけるワッサースタイン計量（ワッサースタインけいりょう、）とは、与えられた距離空間 ''M'' 上の確率分布の間に定義される距離函数である。 直感的に、''M'' 上に堆積した「汚れ」の単位量として各分布を見なすとき、ワッサースタイン計量とは、一つの堆積を別の物へと移すときにかかる「コスト」の最小である。そのようなコストは、移されるべき汚れの量に、移す距離を掛けた値であるとされる。このアナロジーに従い、この計量は計算機科学の分野において（earth mover's distance）として知られている。 「ワッサースタイン計量」という名前は、この概念を1969年に導入したロシアの数学者の名にちなみ、1970年にによって付けられた。多くの英語の出版物においてはドイツ語のスペル "Wasserstein" が用いられている（これは、"Vasershtein" という名がドイツに起源を持つことに起因している）。 == 定義 == (''M'', ''d'') を、''M'' 上のすべての確率測度がラドン測度であるような距離空間（いわゆるラドン空間）とする。''p'' ≥ 1 に対し、有限 ''p'' 次モーメントを備える ''M'' 上のすべての確率測度 ''μ'' の系を ''P''''p''(''M'') で表す。すなわち、そのような ''μ'' は ''M'' 内のある ''x''0 に対して : を満たすようなものである。このとき、''P''''p''(''M'') に含まれる二つの確率測度 ''μ'' と ''ν'' の間のワッサースタイン計量（ワッサースタイン距離）は、 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu):=\backslash left(\; \backslash inf\_\; \backslash int\_\; d(x,\; y)^\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; \backslash gamma\; (x,\; y)\; \backslash right)^$ で定義される。ここで Γ(''μ'', ''ν'') は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える ''M'' × ''M'' 上のすべての測度の系を表す（集合 Γ(''μ'', ''ν'') はまた ''μ'' と ''ν'' のすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる）。 上述の距離は通常 ''W''''p''(''μ'', ''ν'') （"Wasserstein"　の綴りを好む研究者によって）、あるいは ℓ''p''(''μ'', ''ν'') （"Vasershtein" の綴りを好む研究者によって）の記号によって表される。この記事の残りの部分では ''W''''p'' を使用する。 ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu)^\; =\; \backslash inf\; \backslash mathbf\; \backslash big$d( X , Y )^ \big . ここで E は確率変数 ''Z'' の期待値を表し、下限はそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える確率変数 ''X'' と ''Y'' のすべての結合分布に対して取られる。'P''''p''(''M'') で表す。すなわち、そのような ''μ'' は ''M'' 内のある ''x''0 に対して : を満たすようなものである。このとき、''P''''p''(''M'') に含まれる二つの確率測度 ''μ'' と ''ν'' の間のワッサースタイン計量（ワッサースタイン距離）は、 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu):=\backslash left(\; \backslash inf\_\; \backslash int\_\; d(x,\; y)^\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; \backslash gamma\; (x,\; y)\; \backslash right)^$ で定義される。ここで Γ(''μ'', ''ν'') は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える ''M'' × ''M'' 上のすべての測度の系を表す（集合 Γ(''μ'', ''ν'') はまた ''μ'' と ''ν'' のすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる）。 上述の距離は通常 ''W''''p''(''μ'', ''ν'') （"Wasserstein"　の綴りを好む研究者によって）、あるいは ℓ''p''(''μ'', ''ν'') （"Vasershtein" の綴りを好む研究者によって）の記号によって表される。この記事の残りの部分では ''W''''p'' を使用する。 ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu)^\; =\; \backslash inf\; \backslash mathbf\; \backslash big$d( X , Y )^ \big . ここで E は確率変数 ''Z'' の期待値を表し、下限はそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える確率変数 ''X'' と ''Y'' のすべての結合分布に対して取られる。'''p''(''M'') で表す。すなわち、そのような ''μ'' は ''M'' 内のある ''x''0 に対して : を満たすようなものである。このとき、''P''''p''(''M'') に含まれる二つの確率測度 ''μ'' と ''ν'' の間のワッサースタイン計量（ワッサースタイン距離）は、 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu):=\backslash left(\; \backslash inf\_\; \backslash int\_\; d(x,\; y)^\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; \backslash gamma\; (x,\; y)\; \backslash right)^$ で定義される。ここで Γ(''μ'', ''ν'') は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える ''M'' × ''M'' 上のすべての測度の系を表す（集合 Γ(''μ'', ''ν'') はまた ''μ'' と ''ν'' のすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる）。 上述の距離は通常 ''W''''p''(''μ'', ''ν'') （"Wasserstein"　の綴りを好む研究者によって）、あるいは ℓ''p''(''μ'', ''ν'') （"Vasershtein" の綴りを好む研究者によって）の記号によって表される。この記事の残りの部分では ''W''''p'' を使用する。 ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu)^\; =\; \backslash inf\; \backslash mathbf\; \backslash big$d( X , Y )^ \big . ここで E は確率変数 ''Z'' の期待値を表し、下限はそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える確率変数 ''X'' と ''Y'' のすべての結合分布に対して取られる。'P''''p''(''M'') に含まれる二つの確率測度 ''μ'' と ''ν'' の間のワッサースタイン計量（ワッサースタイン距離）は、 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu):=\backslash left(\; \backslash inf\_\; \backslash int\_\; d(x,\; y)^\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; \backslash gamma\; (x,\; y)\; \backslash right)^$ で定義される。ここで Γ(''μ'', ''ν'') は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える ''M'' × ''M'' 上のすべての測度の系を表す（集合 Γ(''μ'', ''ν'') はまた ''μ'' と ''ν'' のすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる）。 上述の距離は通常 ''W''''p''(''μ'', ''ν'') （"Wasserstein"　の綴りを好む研究者によって）、あるいは ℓ''p''(''μ'', ''ν'') （"Vasershtein" の綴りを好む研究者によって）の記号によって表される。この記事の残りの部分では ''W''''p'' を使用する。 ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu)^\; =\; \backslash inf\; \backslash mathbf\; \backslash big$d( X , Y )^ \big . ここで E は確率変数 ''Z'' の期待値を表し、下限はそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える確率変数 ''X'' と ''Y'' のすべての結合分布に対して取られる。'''p''(''M'') に含まれる二つの確率測度 ''μ'' と ''ν'' の間のワッサースタイン計量（ワッサースタイン距離）は、 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu):=\backslash left(\; \backslash inf\_\; \backslash int\_\; d(x,\; y)^\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; \backslash gamma\; (x,\; y)\; \backslash right)^$ で定義される。ここで Γ(''μ'', ''ν'') は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える ''M'' × ''M'' 上のすべての測度の系を表す（集合 Γ(''μ'', ''ν'') はまた ''μ'' と ''ν'' のすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる）。 上述の距離は通常 ''W''''p''(''μ'', ''ν'') （"Wasserstein"　の綴りを好む研究者によって）、あるいは ℓ''p''(''μ'', ''ν'') （"Vasershtein" の綴りを好む研究者によって）の記号によって表される。この記事の残りの部分では ''W''''p'' を使用する。 ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。 :$W\_\; (\backslash mu,\; \backslash nu)^\; =\; \backslash inf\; \backslash mathbf\; \backslash big$d( X , Y )^ \big . ここで E は確率変数 ''Z'' の期待値を表し、下限はそれぞれ周辺 ''μ'' と ''ν'' を備える確率変数 ''X'' と ''Y'' のすべての結合分布に対して取られる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ワッサースタイン計量」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. 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