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数学において、ある集合 ''S'' から距離空間 ''M'' への函数列 が一様コーシー(いちようコーシー、)であるとは、次が成立することをいう: * すべての に対して、ある が存在し、 であるならばすべての に対して が成立する。 また別の表現として、 に対して というものがある。ここで は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される: : == 収束条件 == ''S'' から ''M'' への函数列 が「各点毎に」コーシーであるとは、各 ''x'' ∈ ''S'' に対して列 が ''M'' 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。 一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 ''M'' が完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、''S'' から ''M'' へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意のコーシー列はそのような函数に一様収束する。 一様コーシー性は、''S'' が只の集合ではなく位相空間であり、''M'' が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ: * ''S'' を位相空間とし、''M'' を完備距離空間とする。このとき、連続函数 ''f''n : ''S'' → ''M'' からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 ''f'' : ''S'' → ''M'' に一様収束する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)』 ■ウィキペディアで「一様コーシー列」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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