|
初等代数学における二項定理（にこうていり、）または二項展開 (''binomial expansion'') は二項式の冪の代数的な展開を記述するものである。定理によれば、冪 は の形の項の和に展開できる。ただし、冪指数 は を満たす非負整数で、各項の係数 は と に依存して決まる特定の正整数である。例えば : : : の項の係数 は二項係数 とも呼ばれる。これら係数を および を動かして並べることでパスカルの三角形を描くことができる。これらの数は組合せ論においても現れ、 はから 個の相異なる元を選ぶ組合せの総数を与える。 == 歴史 == 特別の場合の二項定理は古代より知られていた。紀元前4世紀ギリシャの数学者エウクレイデスは冪指数 に対する特別の場合の二項定理に言及している。三次の場合の二項定理が6世紀のインドで知られていたことは証拠がある〔〔。 個の対象から重複無く 個を選ぶ総数を表す組合せ論的量としての二項係数は、古代ヒンドゥーに着目されていた。この組合せ論的問題に対する言及として知られる最も古いものは、ヒンドゥーの詩人 (c. 200 B.C.) による ''Chandaḥśāstra'' で、それにはその解法も含まれている。紀元後10世紀に評者はこの解法を今日パスカルの三角形と呼ばれるものを用いて説明した〔。6世紀ごろのヒンドゥーの数学者には、この数が なる商で表されることがおそらく知られていたし、明らかにこの規則についての言及を12世紀にバースカラ2世の表した文書 ''Lilavati'' に見つけることができる〔。 そういった意味での二項定理は、二項係数の三角形パターンについて記述した11世紀アラビアの数学者の業績にも見つけることができる。アル゠カラジはまた、原始的な形の数学的帰納法をもちいて二項定理およびパスカルの三角形に関する数学的証明も与えている〔。ペルシアの詩人で数学者のオマール・カヤームは、その数学的業績のほとんどは失われてしまったが、恐らく高階の二項定理についてよく知っていた〔。低次の二項展開は13世紀中国の楊輝や朱世傑〔の数学的業績にもみられる。楊輝は遥か旧く11世紀のの書の方法に従った（それらもまた今日では失われてしまったが）〔。 1544年には「二項係数」("binomial coefficient") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて を で表すためにそれらをどのように使うのかを示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を ''Traité du triangle arithmétique'' (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち（例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど）には既に知られていた〔。 アイザック・ニュートンは任意の有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている〔。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「二項定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|