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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 五角数定理 ： ウィキペディア日本語版 オイラーの五角数定理[おいらーのごかくすうていり] 数学において、オイラーの五角数定理（Euler's pentagonal number theorem）は次式が恒等式であることを主張する定理である。 :$\backslash prod\_^(1-x^n)=\backslash sum\_^(-1)^nx^$ これはヤコビの三重積の公式の特殊な場合であり、右辺に五角数が表れる。五角数定理から分割関数の漸化式が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に分割する方法のうち、偶数個に分割する方法の数と奇数個に分割する方法の数との関係を示すものでもある。整数$n$の互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合$\backslash mathcal^0(n)$で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合$\backslash mathcal^1(n)$と表すと : が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は :12=11+1 :12=10+2 :12=9+3 :12=8+4 :12=7+5 :12=6+3+2+1 :12=5+4+2+1 であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は :12=12 :12=9+2+1 :12=8+3+1 :12=7+4+1 :12=7+3+2 :12=6+5+1 :12=6+4+2 :12=5+4+3 であるから、左辺は$7-8=-1$である。一方、$12=\backslash frac$であるから、右辺も$(-1)^3=-1$である。 == ヤコビの三重積による証明 == ヤコビの三重積の公式 :$\backslash sum\_^=\backslash prod\_^$ に を代入すると :$\backslash begin$ \sum_^ \left(x^\right)^\left(-x^\right)^n &=\prod_^ (1 - x^)(1 - x^x^)(1 - x^x^)\\ &=\prod_^ (1 - x^)(1 - x^)(1-x^)\\ \sum_^(-1)^n x^ &= \prod_^ (1 - x^m) \end となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「オイラーの五角数定理」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Pentagonal number theorem 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.