|
数学、特に抽象代数学における群の交換子部分群（こうかんしぶぶんぐん、）あるいは導来部分群（どうらいぶぶんぐん、）は、その群の交換子全体で生成される部分群である。 交換子部分群は、それによる商がアーベル群となるような正規部分群のうちで最小のものであるという点で重要である。すなわち、 がアーベル群となる必要十分条件は正規部分群 が交換子部分群を含むことである。ゆえにある意味で交換子部分群は、群がアーベル群からどれくらい離れているかを測るものということができる。つまり、交換子部分群が大きいほど、その群はアーベル群から遠くなる。 == 交換子 == 群 の元 に対し、 と との交換子とは : （または ） のことである。交換子 が単位元 と等しいための必要十分条件は が成り立つこと、即ち と とが可換であることである。一般に、 が成り立つ。 また、 の元が交換子であるとは、適当な元 を取って の形に書けるときに言う。単位元 は常に交換子であり、これが唯一の交換子となるための必要十分条件は がアーベル群であることである。 ここに単純だが有用な交換子恒等式を挙げる。以下 は群 の元とする。 * 反転: * 共役: * 任意の群準同型 に対し . 前の二つは の交換子全体の成す部分集合が反転と共役に関して閉じていることを示すものである。三つ目の式で と取れば、交換子全体の成す部分集合が の任意の準同型で閉じていることを示すものとなる。この三つ目は実は二つ目の等式の一般化であり、実際に自己準同型 として共役変換 を取れば二つ目が出る。 しかし交換子二つ以上の積は必ずしも交換子でない。一般的な例として、自由群の元 に対して交換子の積 が交換子に書けないことを見ればよい。二つの交換子の積が交換子とならない最小位数の有限群は位数 96 であることが知られており、実はこの性質を持つ位数 96 の群は互いに同型でないものが二種類存在する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「交換子部分群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Commutator subgroup 」があります。 スポンサード リンク
|