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数学における線型順序（せんけいじゅんじょ、）、全順序（ぜんじゅんじょ、）または単純順序（たんじゅんじゅんじょ、）は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (''totally ordered set''), 線型順序集合 (''linearly ordered set''), 単純順序集合 (''simply ordered set'') あるいは鎖 (''chain'') と呼ばれる。 即ち、集合 ''X'' が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、''X'' の任意の元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して、以下の条件 : 反対称律: ''a'' ≤ ''b'' かつ ''b'' ≤ ''a'' ならば ''a'' = ''b''; : 推移律: ''a'' ≤ ''b'' かつ ''b'' ≤ ''c'' ならば ''a'' ≤ ''c''; : 完全律 (比較可能): ''a'' ≤ ''b'' または ''b'' ≤ ''a'' の何れかが必ず成り立つ; が満足される。 反対称性によって ''a'' < ''b'' でも ''b'' < ''a'' でもあるような不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係でであることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (''a'' ≤ ''a'') が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序のと呼ばれる。 == 狭義全順序 == 任意の（広義）全順序関係 ≤ に対し、それに付随する非対称（従って非反射的）な狭義全順序 (''strict total order'') と呼ばれる関係 が存在する。これは次の互いに同値な二種類の仕方で定義することができる。 * ''a'' < ''b'' ⇔ ''a'' ≤ ''b'' かつ ''a'' ≠ ''b'' * ''a'' < ''b'' ⇔ ''b'' ≤ ''a'' でない 後者は、関係 が ≤ のの逆関係であることを意味するものである。 ; 性質: : * 推移律: ''a'' < ''b'' かつ ''b'' < ''c'' ならば ''a'' < ''c''. : * : ''a'' < ''b'' または ''b'' < ''a'' または ''a'' = ''b'' の何れか一つのみが成立する。 : * 恒等性を付随する同値関係とするである。 推移的かつ三分的な二項関係 < が最初に与えられたとき、そこから（広義の）全順序 ≤ を定めることも、次の同値な二種類の方法 * ''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a'' < ''b'' または ''a'' = ''b'' * ''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''b'' < ''a'' でない でできる。 他にも二つ、これらの補関係 ≥ と > を考えることができ、四つ組 はどれからでも他の三種類を導出することができるから、集合が全順序付けられることをいうのにいずれの関係を用いて定義・記述してもよい（特に広義か狭義かは記号で区別できる）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「全順序」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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