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数学における体 ''F'' 上の八元数代数または八元数環（はちげんすうかん、）とは、''F'' 上 8-次元の合成代数、すなわち ''F'' 上 8-次元の単位的非結合多元環でノルム（ノルム形式）と呼ばれる非退化二次形式 ''N'' を備えたものをいう。ノルム ''N'' は、条件 : を ''A'' の各元 ''x'', ''y'' について満たす。 最もよく知られた八元数環は、実数体 R 上の八元数環である古典的なケーリーの八元数全体の成す多元体 O である。分解型八元数の全体もやはり R 上の八元数環を成す。 R-代数の同型の違いを除いて R 上の八元数環はこの二つのみである。 分解型八元数環はその二次形式 ''N'' が等方的である（つまり、''N''(''x'') = 0 となる非零ベクトルをもつ）ような八元数環をいう。体 ''F'' 上の分解型八元数環は ''F''-代数の同型を除いて一意的に存在する。''F'' が代数閉体または有限体のとき、それは ''F'' 上の唯一の八元数環である（「通常型」の八元数環は存在しない）。 八元数環は必ず非結合的になるが、より弱い形の結合性条件を満たす交代代数になる。さらに、任意の八元数環がムーファン恒等式を満足する。したがって、任意の八元数環において可逆元全体の成す集合は（ノルムが 1 の元全体と同様に）ムーファン・ループ（単位的ムーファン擬群）を成す。 == 分類 == フルヴィッツの定理は「ノルム形式の ''F''-同型類は ''F''-八元数環の同型類と一対一に対応する」というものである。さらに、ノルム形式として可能なものは、ちょうど ''F'' 上のフィスター 3-形式になっている。 ''F'' の代数閉体上の ''F''-八元数環はどの二つも同型となるから、ここに非可換ガロワコホモロジーの概念を適用することができる。特に、分解型八元数環の自己同型群は分解型代数群 ''G''2 であるという事実を用いれば、''F''-八元数環の同型類と ''F'' 上の ''G''2-主等質空間（トルソー）の同型類との対応を見ることができる。これらの同型類は非可換ガロワコホモロジー集合 を成す。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「八元数環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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