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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 内点法 ： ウィキペディア日本語版 内点法[ないてんほう] 内点法（ないてんほう、）とは、連続最適化問題のアルゴリズムであり、カーマーカー法に触発されて生まれた多くの手法の総称である。実行可能領域の内部を経由して、最適解に収束するのが特徴である。また、大規模問題に対しては計算効率が良い点や非線型問題にも対応できる点で、シンプレックス法よりも優れているといえる。内点法は、点列を生成する方法によって、アフィン変換法、ポテンシャル減少法、パス追跡法などに分類される。また、扱う問題によっては、与えられた問題を直接扱う方法(主内点法、)、その双対問題を扱う方法(双対内点法、)、主問題と双対問題を同時に解く方法(主双対内点法、)に分けられる。 == 主双対内点法による非線型最適化 == 主双対内点法のアイディアは単純で、制約付き非線型最適化問題にも応用が可能である。ここでは単純のために制約式が全て不等式で与えられる非線型最適化問題について考える。 :最小化: $f(x)$ :条件: $c(x)\; \backslash geq\; 0,\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb^n,\; c(x)\; \backslash in\; \backslash mathbb^m~~~~(1)$ この最適化問題の対数値バリア関数は次のようになる。 :$B(x,\backslash mu)\; =\; f(x)\; -\; \backslash mu\; \backslash sum\_^m\; \backslash ln(c\_i(x))~~~~(2)$ ここで$\backslash mu$は正のスカラーで、時に「バリア・パラメータ」とも呼ばれる。この$\backslash mu$が0に収束していくと、$B(x,\; \backslash mu)$が最適解に収束していく。 前述のバリア関数の勾配は :$g\_b\; =\; g\; -\; \backslash mu\; \backslash sum\_^m\; \backslash frac\; \backslash nabla\; c\_i\; (x)~~~~(3)$ となる。ただし、$g$は元の関数$f(x)$の勾配であり、$\backslash nabla\; c\_i$は$c\_i$の勾配を表す。 主値$x$に加えて、双対値$\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb^m$をラグランジュ乗数として導入する。 :$\backslash forall\; i=1,\; \backslash ldots,\; m,\; c\_i(x)\; \backslash lambda\_i\; =\; \backslash mu~~~~(4)$ この条件は時に摂動相補性条件とも呼ばれる。式(4)を式(3)に適用することにより以下を得る。 :$g\; -\; A^T\; \backslash lambda\; =\; 0\; ~~~~\; (5)$ ただし、行列$A$は制約$c(x)$のヤコビ行列である。 式(5)が表しているのは関数$f(x)$が制約式の勾配により張られる部分空間の中に存在するということである。このとき小さな$\backslash mu$による摂動相補性条件は、最適解が$c\_i(x)=0$の境界付近に存在するか、もしくは制約$c\_i(x)$の勾配$g$がほとんど0であるということを表している。 式(4)および式(5)に対してニュートン法を用いて$(x,\; \backslash lambda)$を更新していくことを考えると、その更新幅$(p\_x,\; p\_\backslash lambda)$は次の線型方程式の解として与えられる。 : \beginp_x \\ p_y \end = \begin -g + A^T \lambda \\ \mu 1 - C \lambda \end ただし行列$W$は関数$f(x)$のヘッセ行列であり、対角行列$\backslash Lambda$は$\backslash lambda$を対角成分に持つ。 したがって、式(1), (4)から :$\backslash lambda\; \backslash geq\; 0$ がそれぞれのステップに課される。適切なステップ更新幅$\backslash alpha$を選び、 :$(x,\; \backslash lambda)\; \backslash rightarrow\; (x\; +\; \backslash alpha\; p\_x,\; \backslash lambda\; +\; \backslash alpha\; p\_\backslash lambda)$ とすることで、最適解に向かって収束していく。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「内点法」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.