冪集合公理について

が存在するための必要十分条件は、''B'' のすべての元が ''A'' の元でもあることである。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
== 帰結 ==

冪集合公理は、二つの集合

X

と

Y

に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：
:

X \times Y = \.

ここで
:

x, y \in X \cup Y

\, \ \in \mathcal(X \cup Y)

(x, y) = \ \in \mathcal(\mathcal(X \cup Y))

であり、
:

X \times Y \subseteq \mathcal(\mathcal(X \cup Y))

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：
:

X_1 \times \cdots \times X_n = (X_1 \times \cdots \times X_) \times X_n.

デカルト積の存在は、におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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