翻訳と辞書 Words near each other ・ 分離脊椎麻酔 ・ 分離脊椎麻酔法 ・ 分離脳 ・ 分離脳、スプリット ブレイン ・ 分離腫 ・ 分離腹部 ・ 分離芽腫 ・ 分離荷重 ・ 分離血漿 ・ 分離課税 ・ 分離超平面定理 ・ 分離通航方式 ・ 分離速度 ・ 分離遅延 ・ 分離量 ・ 分離閉包 ・ 分離集団 ・ 分離集落 ・ 分離電位 ・ 分離麻酔 Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 分離超平面定理 ： ウィキペディア日本語版 分離超平面定理[ぶんりちょうへいめんていり] 分離超平面定理（ぶんりちょうへいめんていり、）は 次元ユークリッド空間上の互いに素な凸集合に関する幾何学における 2 つの定理を指す。 一つ目の定理は、互いに素な凸集合の両方が閉集合であってかつ少なくともいずれか 1 つの凸集合がコンパクト集合である場合、2 つの閉凸集合の間に 1 つの超平面が存在でき、また閉凸集合の間に 2 つの平行な超平面を隙間を作って置くことができることを示す。 二つ目の定理は、互いに素な凸集合があり両者が開集合である場合、2 つの開凸集合の間に 1 つの超平面をはさむことができるが、2 つの開凸集合の間には必ずしも隙間が存在するわけではないことを示す（従って第一の定理と異なり、複数の超平面を重ねずに挟むことができない状況が存在する）。 分離超平面に対して直交する軸を分離軸 と呼ぶ。これは、2 つのの分離軸への直交写像が互いに素であることによる。 分離超平面定理はヘルマン・ミンコフスキーの寄与によって発見された。ハーン＝バナッハの分離定理はミンコフスキーの結果を線型位相空間へ一般化したものである。 関連する結果としてがある。マージン最大化超平面 は空間上にある点の集まりを 2 つのクラスタに分離する超平面の中で、両者のクラスタからの距離が等しいようなものである。このとき、それぞれのクラスタと分離超平面の間のマージンは最大化される。この事実はサポートベクターマシンなどに応用される。 == ステートメントと証明 == 証明は以下の補題に基づく： ;補題の証明： 上のベクトル のノルムの下限を とする。 となるような 上の数列 について、 の凸性より が成り立つ。また、 :$\backslash left|\backslash frac\backslash right|^2\; \backslash ge\; \backslash inf\backslash \; =\; \backslash delta$ であることから :$|x\_i\; -\; x\_j|^2\; =\; 2|x\_i|^2\; +\; 2|x\_j|^2\; -\; |x\_i\; +\; x\_j|^2\; \backslash le\; 2|x\_i|^2\; +\; 2|x\_j|^2\; -\; 4\backslash delta^2$ が得られる。上記の関係について極限を取れば右辺は 0 となり、従って :$|x\_i\; -\; x\_j|\; \backslash le\; 0$ を満たす。すなわち はコーシー列であり、コーシー列の基本的性質からその極限値は に含まれるので、 はベクトル の最小ノルムとなる。最小ノルムを持つベクトルの一意性について、ベクトル が最小ノルム を持つならば、 :$|x\; -\; y|^2\; \backslash le\; 2|x|^2\; +\; 2|y|^2\; -\; 4\backslash delta^2\; =\; 0$ となるから である。□ ;定理の証明： 互いに素な空でない凸集合 が与えられるとして、次のようなを考える。 :$K\; =\; A\; +\; (-B)\; =\; \backslash .$ は凸なので もまた凸である。 と の（したがって の）凸性から上記のミンコフスキー和 は凸である。 の閉包 は凸なので、先に示した補題より について最小ノルムを持つベクトル が一意に定まる。 の凸性から、任意のベクトル について、線分 :$v\; +\; t(u\; -\; v),\; \backslash ,\; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1$ 上の点はすべて に含まれるため、閉包 のベクトルのノルムについて以下の関係が成り立つ。 :$|v|^2\; \backslash le\; |v\; +\; t(u\; -\; v)|^2\; =\; |v|^2\; +\; 2\; t\; \backslash langle\; v,\; u\; -\; v\; \backslash rangle\; +\; t^2|u\; -\; v|^2,\; \backslash quad\; (0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 1).$ この関係より直ちに次の結果が得られる： : 更に、 について の極限を取れば上記の関係は :$\backslash langle\; v,\; u\; \backslash rangle\; \backslash ge\; |v|^2$ と書き換えられる。従って、任意の および について、 :$\backslash langle\; v,\; x\; -\; y\; \backslash rangle\; \backslash ge\; |v|^2$ が成り立つ。 ベクトル が零ベクトルでないならば、この関係より :$\backslash inf\_\; \backslash langle\; x,\; v\; \backslash rangle\; \backslash ge\; |v|^2\; +\; \backslash sup\_\; \backslash langle\; y,\; v\; \backslash rangle$ を得て証明を終わる。 == 反例と一意性 == または の一方が凸集合でない場合、「分離定理」に対しては様々な反例が挙げられる。例えば と は同心円状にとることができる。 より微妙な反例として、 と の両方が閉凸集合だがいずれもコンパクトでない場合が挙げられる。例として、 が閉半平面で が双曲線の分枝の一方であるとすれば、この場合には分離超平面は厳密には存在しない（しかしながら、開凸集合に関する分離定理があるために および の内部を分離する超平面が 1 つ存在する）： :$A\; =\; \backslash$ :$B\; =\; \backslash .\backslash$ 他のタイプの反例として がコンパクトな閉凸集合であり が開凸集合である場合がある。例えば、 を正方形の閉集合、 を正方形の開集合として と が接している状況がこれに当てはまる。 閉凸集合に関する分離定理では分離超平面を一意に決めることができないことは明らかである。開集合バージョンの分離定理では、超平面が一意に定まる場合もあるしそうでない場合もあり得る。技術的なことだがこれらのことは分離軸について言い換えられる。閉凸集合の分離定理では分離軸を一意に決められないが、開凸集合の分離定理では分離軸を一意に決定できる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「分離超平面定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.