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数学において劣調和函数（れつちょうわかんすう、）および優調和函数（ゆうちょうわかんすう、）は、偏微分方程式、複素解析およびポテンシャル論において幅広く用いられている重要な函数のクラスである。 直観的に言えば、劣調和函数は以下のような意味で一変数の凸函数と関係がある: : 「凸函数のグラフと直線が二点で交わるとき、その二点間では凸函数のグラフは直線の下にある」ことと同様に「球体の境界上での劣調和函数の値が常に適当な調和函数の値よりも大きくないならば、球体の内側においても劣調和函数の値はその調和函数の値よりも大きくならない。」 優調和函数は、同じ記述において「大きくない」という箇所を「小さくない」に替えたものによって定義することができる。あるいは同じことになるが、優調和函数とは劣調和函数の負函数にちょうどなっているものである。また、このことから劣調和函数のどのような性質も、優調和函数の対応する性質に読み替えるのは容易である。 == 厳密な定義 == 定義を厳密に述べれば以下の通りである。 をユークリッド空間 の部分集合とし、 : を上半連続函数とする。このとき が劣調和であるとは、 に含まれる中心 , 半径 の閉球体 を任意にとるとき、 上の実数値連続函数 が 上で調和かつ の境界 上の任意の点 において を満たすならばかならず、 上の任意の点 においても常に となるときに言う。 この定義によると、恒等的に である函数も劣調和的ということになる。研究者によってはこの場合は定義から除くこともある。 函数 が優調和的であるとは、 が劣調和的であることを言う。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「劣調和函数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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