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環論という抽象代数学の分野において、左完全環 (left perfect ring) はすべての左加群が射影被覆をもつような環のことである。右完全環も同様に定義される。条件は左右対称でない、つまり、一方の側で完全だがもう一方では完全でないような環が存在する。完全環は で導入された。 半完全環 (semiperfect ring) はすべての有限生成左加群が射影被覆をもつような環である。この性質は左右対称的である。 == 完全環 == === 定義 === 左完全環 ''R'' の以下の同値な定義は にある。 * すべての左 ''R'' 加群は射影被覆をもつ。 * ''R''/J(''R'') は半単純加群であり J(''R'') は左 T-冪零 (left T-nilpotent)（つまり、J(''R'') の元のすべての無限列に対して、ある ''n'' が存在して、最初の ''n'' 項の積が 0 である）、ただし J(''R'') は ''R'' のジャコブソン根基である。 * (Bass' Theorem P) ''R'' は主右イデアルについて降鎖条件を満たす。（間違っていない。''右''主イデアルについてのこの条件は環が''左''完全であることと同値である。） * すべての平坦左 ''R''-加群は射影加群である。 * ''R''/J(''R'') は半単純でありすべての 0 でない左 ''R'' 加群は極大部分加群を含む。 * ''R'' は冪等元の無限直交集合を含まず、すべての 0 でない右 ''R'' 加群は極小部分加群を含む。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「完全環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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