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双対表現 : ウィキペディア日本語版
反傾表現[はんけいひょうげん]
数学において、 がで がベクトル空間 上の の線型表現であるとき、反傾表現(はんけいひょうげん、)あるいは双対表現(そうついひょうげん、) は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義される〔Lecture 1 of , p. 4 〕:
: は のである、つまり、すべての に対して = である。
リー環で がベクトル空間 上のその表現であれば、反傾表現 は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義される〔Lecture 8 of , p. 111 〕:
:すべての に対して = .
いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。
ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。
== 動機付け ==
表現論において、 のベクトルと の線型汎関数はいずれも''列ベクトル''と考え、したがって表現は''左''から(行列の乗法によって)作用できる。 の基底と の双対基底が与えられると、線型汎関数 の への作用 は行列の乗法
:\langle\varphi, v\rangle \equiv \varphi(v) = \varphi^Tv,
によって表現できる、ただし superscript は行列の転置である。整合性を持つには
:\langle^
*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\varphi, v\rangle.〔Lecture 1, page 4 of 〕
でなければならない。与えられた定義から
:\langle^
*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\rho(g^)^T\varphi, \rho(g)v\rangle = (\rho(g^)^T\varphi)^T \rho(g)v = \varphi^T\rho(g^)\rho(g)v = \varphi^Tv = \langle\varphi, v\rangle.
リー環の表現に対しては可能な群の表現と飲む矛盾性を選ぶ。一般に、 がリー群の表現であれば、
:\pi(X) = \frac\Pi(e^)|_
によって与えられる はそのリー環の表現である。 が に双対であれば、その対応するリー環の表現 は次で与えられる:
:\pi^
*(X) = \frac\Pi^
*(e^)|_ = \frac\Pi(e^)^T|_ = -\pi(X)^T.〔Lecture 8, page 111 of 〕

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「反傾表現」の詳細全文を読む



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