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多重線型代数やテンソル解析における共変性（）と反変性（）とは、ある幾何学的または物理的な対象に基底変換を施した際に、それがどのように変化をするかを表す。物理学では、基底は基準とする座標系の軸としばしば同一視される。 座標系のスケール変換は単位系の変更に関連する。たとえば、メートル m からセンチメートル cm にスケールを変更すると（つまり長さのスケールを 100 で割ると）、速度ベクトルの成分は 倍される。このように、座標系のスケール変換をしたとき、それとは''逆'' にベクトルのスケールが変換される振る舞いを示すことを反変性という。結果として、ベクトルは長さや長さと他の次元の積の次元を持つ。対照的にその双対ベクトル（余ベクトルと呼ばれる）の次元は一般に、長さの逆かそれに別の次元を掛けたものになる。 双対ベクトルの例としては勾配が挙げられる。勾配は空間微分によって定義され、長さの逆の次元を持つ。双対ベクトルの成分は座標系のスケールと''同様に'' 変換される。このような振る舞いを共変性という。ベクトルおよび余ベクトルの成分は、一般の基底の変換に対しても同じような規則で変換される。 * ベクトルが基底に依存しない不変量であるためには、ベクトルの成分は基底の変化を補うように反対に変換されなければならない。つまり、ベクトルを変換する行列は基底を変換する行列の逆行列になっていなければならない。ベクトルの成分は反変であるという。反変な成分を持つベクトルにはたとえば、観測者に対する物体の相対的な位置や、速度、加速度、躍度など位置の時間微分がある。アインシュタインの縮約を用いると、反変成分は上付き添字を用いて以下のように表される。 :: * 余ベクトルが基底に依存しないためには、余ベクトルの成分は基底の変換に対して、同じ余ベクトルとして表されるように、共に変化しなければならない。つまり、余ベクトルの変換は基底の変換と同じ行列によってなされる必要がある。余ベクトルの成分は共変であるという。共変ベクトルは、関数の勾配としてしばしば現れる。共変成分は下付き添字を用いて以下のように表される。 :: 物理学や幾何学においては、円筒座標や球座標などのがしばしば用いられる。空間の各点でのベクトルに対する基底を自然なものに取ることと、ベクトルの共変性および反変性には深い関わりがあり、ベクトルの座標表示が座標系を移したときどのように変化するかということを理解する上で特に重要である。 （共変）および （反変）という語はジェームス・ジョセフ・シルベスターによって1853年に代数的なの研究のために導入された〔Sylverster (1853).〕。 不変式論の文脈ではたとえば、斉次方程式は変数変換に対して反変である。多重線型代数におけるテンソルは共変でありかつ反変であり得る。多重線型代数における共変性および反変性は、圏論における関手に対する用法の特別な例である。 By contrast, a ''covariant vector'' has components that change oppositely to the coordinates or, equivalently, transform like the reference axes. For instance, the components of the gradient vector of a function : transform like the reference axes themselves. When only rotations of the axes are considered, the components of contravariant and covariant vectors behave in the same way. It is only when other transformations are allowed that the difference becomes apparent. --> ''v. This important requirement is what distinguishes a contravariant vector from any other triple of physically meaningful quantities. For example, if ''v'' consists of the ''x'', ''y'', and ''z''-components of velocity, then ''v'' is a contravariant vector: if the coordinates of space are stretched, rotated, or twisted, then the components of the velocity transform in the same way. Examples of contravariant vectors include displacement, velocity and acceleration. On the other hand, for instance, a triple consisting of the length, width, and height of a rectangular box could make up the three components of an abstract vector, but this vector would not be contravariant, since a change in coordinates on the space does not change the box's length, width, and height: instead these are scalars. By contrast, a ''covariant vector'' has components that change oppositely to the coordinates or, equivalently, transform like the reference axes. For instance, the components of the gradient vector of a function : transform like the reference axes themselves. When only rotations of the axes are considered, the components of contravariant and covariant vectors behave in the same way. It is only when other transformations are allowed that the difference becomes apparent. --> 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ベクトルの共変性と反変性」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Covariance and contravariance of vectors 」があります。 スポンサード リンク
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