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反応拡散系（はんのうかくさんけい、）とは、空間に分布された一種あるいは複数種の物質の濃度が、物質がお互いに変化し合うような局所的な化学反応と、空間全体に物質が広がる拡散の、二つのプロセスの影響によって変化する様子を数理モデル化したものである。 反応拡散系は、化学の分野において自然な形で応用されるものである。しかし、化学的ではない動力学過程を表現する上でも、反応拡散系は応用される。例えば、生物学や地質学、物理学や生態学において、そのような応用例は見られる。数学的に言うと、反応拡散系は半線形楕円型偏微分方程式の形を取るものである。一般的には次のように記述される： : ここでベクトル q(x,''t'') の各成分はある物質の濃度を表し、 は拡散係数からなる対角行列を表し、R はすべての局所的な反応を表す。反応拡散方程式の解は、進行波の形成や波に似た現象、あるいは帯や六角形のような自己組織、あるいはのようなより複雑な構造を含む、幅広い範囲の挙動を見せるものである。 == 一成分の反応拡散方程式 == 最も簡単な反応拡散方程式は、空間一次元における単一物質の濃度 ''u'' に関するもので : と記述され、これはKPP方程式（Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov の略）とも呼ばれる〔A. Kolmogorov et al., Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1〕。反応項が無い場合、方程式は純粋な拡散過程のみを表す。そのような方程式はフィックの第二法則に関係するものである。反応項が ''R''(''u'') = ''u''(1-''u'') である場合、生物学的な人口の広がりを表現するために元々用いられた、フィッシャーの方程式が得られる〔R. A. Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355〕。''R''(''u'') = ''u''(1 − ''u''2) である場合、レイリー＝ベナール対流を表すためのニューウェル＝ホワイトヘッド＝シーゲル方程式が得られる〔A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279〕〔L. A. Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203〕。''R''(''u'') = ''u''(1 − ''u'')(''u'' − ''α'') および 0 < ''α'' < 1 である場合には、燃焼理論に現れるより一般的なゼルドビッチ方程式が得られる〔Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341〕。そしてその特別な退化的な例は ''R''(''u'') = ''u''2 − ''u''3 の場合に得られ、その方程式もまたゼルドビッチ方程式と呼ばれる〔B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)〕。 一成分の系のダイナミクスは、ある特定の制限に関するものである。なぜならば、その発展方程式は変分系 : としても書かれ、したがってこれは次式で与えられる「自由エネルギー」 の永続的な減少を意味するからである： : ここで ''V''(''u'') は ''R''(''u'')=d''V''(''u'')/d''u'' であるようなポテンシャルを表す。 一つ以上の定常同次解を備える系において、典型的な解は、その同次状態をつなぐ進行波として与えられる。そのような解は、その形状を変えずに一定の速度で移動し、''u''(''x'', ''t'') = û(''ξ'') と記述される。ここで ''ξ'' = ''x'' − ''ct'' であり ''c'' はその進行波の速度を表す。ここで、進行波は一般的に安定な構造を備えるが、非単調な定常解（例えば、前進と反前進のペアで構成される局所化された領域）は不安定であることに注意されたい。''c'' = 0 の場合には、この記述内容には次のような簡単な証明が存在する〔P. C. Fife, Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems, Springer (1979)〕：''u0''(''x'') が定常解、''u''=''u''0(''x'') + ''ũ''(''x'', ''t'') が無限小摂動解であるなら、線型安定性解析によって次の方程式が導かれる。 : この解 ''ũ'' = ''ψ''(''x'')exp(−''λt'') に対し、シュレディンガー型の固有値問題 : が得られる。ただし、その負の固有値が解の不安定性に帰結するものである。平行移動不変性により、''ψ'' = ∂''x''''u''0(''x'') は固有値 λ = 0 に対応する中立的な固有関数であり、その他のすべての固有関数は、ゼロ解の数について単調に増加する実固有値の絶対値について、増加する結び目の数に従って分類される。固有関数 ''ψ'' = ∂''x'' ''u''0(''x'') は少なくとも一つのゼロ解を持ち、非単調な定常解については対応する固有値 ''λ'' = 0 は最小のものではなく、したがって不安定性を意味する。 進行波の速度 ''c'' を決定するために、移動座標系を考え、定常解を探すことが出来る： : この方程式は、位置 ''û''、時間 ''ξ''、力 ''R''、減衰係数 c に対する質量 ''D'' の動きに対する機械的な類似性を備えるものである。 空間一次元からより高次の空間次元に議論を移しても、依然として有効となる内容は数多く存在する。平らな、あるいは曲がった進行波は典型的な構造で、曲がった波の局所速度が局所曲率半径に依存するに従い、新たな効果が生じるものである（このことは極座標系を考えることで分かる）。この現象は、いわゆる曲率駆動不安定性を導く〔 A. S. Mikhailov, Foundations of Synergetics I. Distributed Active Systems, Springer (1990)〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「反応拡散系」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Reaction-diffusion system 」があります。 スポンサード リンク
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