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可除群[かじょぐん]
数学、とくに群論の分野において、可除群 (divisible group) はアーベル群であって全ての元がある意味で正の整数によって割ることのできるもの、より正確には、すべての元が各正整数 ''n'' に対して ''n'' 倍元であるものである。可除群はとくに移入アーベル群であることを理由にアーベル群の構造の理解において重要である。
==定義==
アーベル群 (''G'', +) が可除 (divisible) であるとは、すべての正の整数 ''n'' とすべての ''g'' ∈ ''G'' に対して、ある ''y'' ∈ ''G'' が存在して、''ny'' = ''g'' となることをいう〔Griffith, p. 6〕。これは任意の正の整数 ''n'' に対して ''nG'' = ''G'' といっても同じである。なぜならば、すべての ''n'' と ''g'' に対しての ''y'' の存在から ''nG'' ⊇ ''G'' が言え、逆の ''nG'' ⊆ ''G'' は任意の群に対して正しいからである。また別の同値条件として、アーベル群 ''G'' が可除であることと ''G'' がにおけるであることは同値である。この理由のため、可除群は入射群と呼ばれることがある。
アーベル群が素数 ''p'' に対して ''p''-可除 (''p''-divisible) とは、すべての正の整数 ''n'' とすべての ''g'' ∈ ''G'' に対してある ''y'' ∈ ''G'' が存在して ''p''''n''''y'' = ''g'' となることをいう。あるいは同じことだが、アーベル群が ''p''-可除であることと ''pG'' = ''G'' であることは同値である。
抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』
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