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右完全函手 : ウィキペディア日本語版
完全関手[かんぜんかんしゅ]

ホモロジー代数において、完全関手とは完全列を保存する関手のことをいう。完全関手は対象の表現にそのまま適用できるため便利である。ホモロジー代数の多くの研究は、完全関手にはならないがその''不完全さ''を制御できる関手を扱うためのものである。
== 定義 ==

''P''と''Q''をアーベル圏とし、''F'': ''P''→''Q''を共変加法的関手(すなわち、とくに、''F(0)=0''である)とする。
:''0''→''A''→''B''→''C''→''0''
を''P''の対象からなる短完全列とする。
このとき、''F''は
* ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' が完全列となるとき半完全という。これはの概念と似ている。
* ''0''→''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' が完全列となるとき左完全という。
* ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)''→''0'' が完全列となるとき右完全という。
* ''0''→''F(A)''→''F(B)''→''F(C)''→''0'' が完全列となるとき完全という。
''G''が''P''から''Q''への反変加法的関手であるときも同様の定義が可能であり、''G''は
* ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' が完全列となるとき半完全という。
* ''0''→''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' が完全列となるとき左完全という。
* ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)''→''0'' が完全列となるとき右完全という。
* ''0''→''G(C)''→''G(B)''→''G(A)''→''0'' が完全列となるとき完全という。
完全列が保存されるためには、''0''→''A''→''B''→''C''→''0'' が短完全列であること全てを考える必要はなくて、一部が完全であることだけが必要である。以下は全て上の定義と同値となる。
* ''0''→''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''0''→''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' も完全列となるとき、''F''は左完全であるという。
* ''A''→''B''→''C''→''0'' が完全列であるならば ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)''→''0'' も完全列となるとき、''F''は右完全であるという。
* ''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''F(A)''→''F(B)''→''F(C)'' も完全列となるとき、''F''は完全であるという。
* ''A''→''B''→''C''→''0'' が完全列であるならば ''0''→''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' も完全列となるとき、''G''は左完全であるという。
* ''0''→''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)''→''0'' も完全列となるとき、''G''は右完全であるという。
* ''A''→''B''→''C'' が完全列であるならば ''G(C)''→''G(B)''→''G(A)'' も完全列となるとき、''G''は完全であるという。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「完全関手」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Exact functor 」があります。



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