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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 四平方数定理 ： ウィキペディア日本語版 四平方定理[よんへいほうていり] 数学において、ラグランジュの四平方定理(Lagrange's four square theorem)は、全ての自然数が高々四個の平方数の和で表されることを主張する定理である〔Wolfram Mathworld: Lagrange's Four-Square Theorem 〕。これはフェルマーの多角数定理の四角数の場合に当たり、ウェアリングの問題の二次の場合に当たる。ヤコビの四平方定理(Jacobi's -)は自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理である。 == ラグランジュの四平方定理の証明 == 初めに奇素数$p$について証明する。$p-1$が$p$の平方剰余であれば、 :$\backslash begin$ &s_1^2\equiv-1\;(\operatorname\;p)\\ &s_1^2+1^2+0^2+0^2\equiv0\;(\operatorname\;p)\\ \end となる$s\_1$が存在する。$p-1$が平方非剰余であれば、 :$\backslash begin$ &s_1^2+s_2^2\equiv=-1\;(\operatorname\;p)\\ &s_1^2+s_2^2+1^2+0^2\equiv0\;(\operatorname\;p)\\ \end となる$s\_1,s\_2$が存在する。いずれにしても、 :$s\_1^2+s\_2^2+s\_3^2+s\_4^2=fp$ は解を持つ。その解の中で$f$が最小になるものを選ぶと$f=1$であることを証明する。$f>1$を逆に仮定して背理法を用いる。$f$が偶数であれば、$s\_1,s\_2,s\_3,s\_4$の順序を適当に選ぶと$\backslash pm$と$\backslash pm$が共に偶数になり、 :$\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2=\backslash frac=\backslash fracp$ であるから最小の$f$を選んだという仮定に背く。故に$f$は奇数である。$f$を法とする$s\_1,s\_2,s\_3,s\_4$の最小剰余を$t\_1,t\_2,t\_3,t\_4$とすると :$t\_1^2+t\_2^2+t\_3^2+t\_4^2\backslash equiv\backslash equiv\backslash pmod$ : もしも$====0$ならば$\backslash equiv\backslash equiv\backslash equiv\backslash equiv0\backslash ;(\backslash bmod\backslash ;f)$であるから$s\_1^2+s\_2^2+s\_3^2+s\_4^2=fp\backslash ;(\backslash bmod\backslash ;f^2)$である。これは$p$が素数であるという仮定に背くから$\backslash ge1$である。四平方恒等式により :$\backslash begin(fp)(ef)$ &=(s_1^2+s_2^2+s_3^2+s_4^2)(t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2)\\ &=(s_1t_1+s_2t_2+s_3t_3+s_4t_4)^2+(s_1t_2-s_2t_1+s_3t_4-s_4t_3)^2+(s_1t_3-s_2t_4-s_3t_1+s_4t_2)^2+(s_1t_4+s_2t_3-s_3t_2-s_4t_1)^2 \end $\backslash equiv\backslash ;(\backslash bmod\backslash ;f)$であるから$\backslash equiv\backslash equiv\backslash ;(\backslash bmod\backslash ;f)$であり、他の項も同様であるから :$\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\backslash right)^2=ep$ を得る。これは最小の$f$を選んだという仮定に背く。故に$f=1$でなければならない。 以上により、全ての奇素数が高々四個の平方数の和で表されることが証明されたが、偶素数$2=1^2+1^2$も自明である。オイラーの四平方恒等式 :$\backslash begin$ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =&(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4)^2\\ +&(a_1b_2-a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2\\ +&(a_1b_3-a_2b_4-a_3b_1+a_4b_2)^2\\ +&(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2-a_4b_1)^2 \end により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。従って、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表される。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「四平方定理」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Lagrange's four-square theorem 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.