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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 変分原理 ： ウィキペディア日本語版 変分原理[へんぶんげんり] 変分原理（へんぶんげんり、英語：variational principle）は、変分法を用いた物理学の原理。 特に、 * 幾何光学においては、フェルマーの原理 * 電磁気学におけるディリクレの原理 * 古典力学、電磁気学、量子力学などにおいては、作用次元を持つので、最小作用の原理という。 変分原理は積分の形で扱うので、座標系の取り方に依存しない。従って拡張性に優れ、いろいろな分野に応用、利用される。 == 古典力学 == 作用積分''S'' を、 :$S\backslash left$ = \int_^ L (q(t), \dot(t),t) dt, とする。''L'' はラグランジアン、''q'' (''t'' ) は一般化座標、$\backslash dot(t)\; =\; \backslash frac(t)$ はその時間微分、すなわち一般化速度である。ここで、ある時刻''t''1、''t''2 において、''q'' (''t''1)、''q'' (''t''2) は固定されているとする。 この作用積分''S'' に対する変分原理は、作用積分に対する停留値問題を考えることであり、 :$\backslash delta\; S\backslash left$ = \delta \int_^ L (q(t), \dot(t),t) dt = 0 ということに相当する。 変分は、一般化座標 ''q'' を、 :$q(t)\; \backslash to\; q(t)\; +\; \backslash delta\; q(t),$ と時刻''t'' 上で''δq'' だけ微小変化させることに相当する。変分におけるこの微小変化は仮想的な変位を与えることであり、これは時間''t'' に対する微小変位 ''dq'' とは異なった概念である。''δq'' は元の経路 ''q'' (''t'' ) 近傍の別の（仮想的な）経路との差であり、他方、時間変化 ''dq'' は経路 ''q'' に沿った変化の大きさを表す。 一般化座標 ''q'' の微小変化 ''δq'' について、始点''t'' =''t''1 と終点''t'' =''t''2 においては経路が固定されているので、 :$\backslash delta\; q(t\_1)\; =\; \backslash delta\; q(t\_2)\; =\; 0,$ は常に満たされる。 一般化座標 ''q'' の表す経路の変化に伴い、一般化速度 $\backslash dot$ も微小変化する。 :$\backslash dot(t)\; \backslash to\; \backslash dot(t)\; +\; \backslash delta\; \backslash dot(t).$ ここで、一般化速度の微小変化 $\backslash delta\; \backslash dot(t)$ は、ある時刻''t'' における、二つの経路での一般化速度の差を表す。 :$\backslash delta\; \backslash dot(t)\; =\; \backslash frac\backslash delta\; q(t).$ 作用積分の変分を計算すると、 :$\backslash begin$ \delta S\left &= I\leftq\right - I\left\\ &= \int_^ L(q(t) + \delta q(t), \dot(t) + \delta \dot(t),t) dt - \int_^ L (q(t), \dot(t),t) dt \\ &= \int_^ \left L(q + \delta q, \dot + \delta \dot,t) - \left\ - L (q, \dot,t) \right dt ,\end と変形できる。ここで $\backslash delta\; q$ および $\backslash delta\; \backslash dot$ は充分小さいので、積分中の第一項と第二項、第三項と第四項の組はそれぞれ偏微分の形に書き換えられ、 :$\backslash begin$ \delta S\left &= \int_^ \left\frac \delta q + \frac \delta \dot \right dt\\ &= \int_^ \left \frac \delta q + \frac\left(\frac \delta q\right) - \frac\left(\frac\right)\delta q \right dt\\ &= \left. \frac\delta \right|_^ + \int_^ \left\frac - \frac \left( \frac \right) \right \delta q dt ,\end となる。''δq'' (''t''1) = ''δq'' (''t''2) = 0 から第一項は 0 となる。''q'' (''t'' ) の任意の微小変化 ''δq'' (''t'' ) に対して、作用積分の変分がゼロ ''δS'' = 0 である条件として、 :$\backslash frac(q(t),\backslash dot(t),t)$ - \frac \left( \frac(q(t),\dot(t),t) \right) = 0 , を得る。これはオイラー＝ラグランジュ方程式になっている。 同様にして変分原理を、幾何光学（光線光学）における光の反射や屈折の問題について適用すれば、フェルマーの原理が得られる。フェルマーの原理において、作用積分に対応するものは空間の 2 点間を結ぶ経路の光路長であり、ラグランジアンに対応するものは屈折率となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「変分原理」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.