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多重指数記法 : ウィキペディア日本語版
多重指数[たじゅうしすう]
数学において多重指数記法(たじゅうしすうきほう、; 多重添字記法)は、添字記法順序組を用いて多重化(多変数に一般化)する表記法であり、多変数微分積分学偏微分方程式論、超関数論などの分野において、主に整数冪の冪指数などの添字を多重化した多重指数多重添字を用いて様々な式の表記を簡潔にする。
== 主な定義 ==
非負整数からなる -次元(あるいは -変数)の多重指数あるいは多重添字とは
: \alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)
とは、非負整数全体の成す集合 の -重デカルト積 の元を言う。場合によっては整数からなる多重指数や実数からなる多重指数も必要に応じて用いられる。多重指数という名称は以下のような意味で冪指数を多重化することを示唆する:
; 多重冪指数
: x^\alpha := x_1^ x_2^ \dotsb x_n^\quad (x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)),
; 高階偏微分の階数
: \partial^\alpha := \partial_1^ \partial_2^ \dotsb \partial_n^\quad (\partial_i^=\part^ / \part x_i^).
以下、 は適当な数のクラスに成分を持つ多重指数とし、(通常の意味で書かれた右辺の式が定義される限りにおいて)右辺によって左辺を定義する。
; 成分ごとの加法(と減法)
: \alpha \pm \beta := (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)
; 半順序
: \alpha \le \beta :\iff \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\
; 長さ、大きさ、絶対値、全次数
: | \alpha | := \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n
; 階乗
: \alpha ! := \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!
またこれらを複合する形で
; 二項係数
: \binom = \frac := \binom\binom\cdots\binom
; 多項係数
: \binom = \frac := \frac
なども定義できる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「多重指数」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Multi-index notation 」があります。



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