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多項式（たこうしき、）は定数および変数あるいは不定元の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的概念である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 多項式とは :3''x''3 − 7''x''2 + 2''x'' - 23 のような形をした式である。加法や減法を全て加法として次の式のように考えた場合、 :3''x''3 + (−7''x''2 )+ 2''x'' + ( -23 ) 加法の記号で区切られた式の "3''x''3", "−7''x''2", "2''x''", "-23" のことを項（ こう、''term''）と呼び、複数の項を足し合わせることでできる式であることから多項式と呼ばれる。 一つの項だけからできている式を単項式（たんこうしき、''monomial''）と呼び、複数の項からできているものだけを多項式と呼んで、単項式と多項式を併せて整式と呼ぶ流儀もある。 == 一変数多項式 == ''x'' を不定元（変数）、''n'' を非負の整数として、''a''0, ''a''1, ..., ''a''''n'' を ''n''+1 個の実数または複素数などの定数とする。このような ''x'' と 0 ≤ ''i'' ≤ ''n'' によって次のように表されるものが多項式である。 : * ''f''(''x'') = ''a''''n''''x''''n'' + ''a''''n''−1''x''''n''−1 + … + ''a''1''x'' + ''a''0 とおく。このとき、''a''''m'' ≠ 0 となる最大の ''m'' のことをこの多項式の次数（じすう、''degree''）と呼び、deg ''f'' とあらわす。 * 各 ''a''''i''''x''''i'' をこの多項式の項（こう、term）あるいは単項式項と呼び、''i'' をその項の次数と呼ぶ。あるいは、この多項式の ''i'' 次の項は ''a''''i''''x''''i'' である、という風に言い表す。 * 各定数 ''a''''i'' のことをこの多項式の係数（けいすう、''coefficient''）と呼ぶ。特に、''a''''m'' (''m'' = deg ''f'') をこの多項式の最高次係数あるいは頭項係数 (''leading coefficient'') と呼ぶ。最高次の係数が 1 の多項式を単多項式あるいはモニック多項式と呼ぶ。 * 0 次の項 ''a''0 のことを定数項（ていすうこう、''constant term'', ''constant''）と呼ぶ。ただの定数を、定数項しかない多項式と見なすことができる。次数の定義から、0 でない定数項のみからなる多項式の次数は 0 である。しかし、定数 0 を多項式と見なすとき、その次数は定義されないか、または便宜的に −∞ と定義されることが多い。 多項式は総和を表す記号 ∑ を使って : とも記される。このとき、''x''0 とは多項式としての 1 のことである。 係数の属する集合が ''K'' であるような ''x'' を変数とする多項式の全体を ''K'' で表す。たとえば実数係数の多項式の全体は R、複素数係数の多項式の全体は C などと表す。係数の集合 ''K'' は四則演算の定義されるような代数系であるのが通常で、多くはとくに体と呼ばれる四則演算が自由に行えるものを想定することになる。もうすこし一般の（必ずしも可換でない、単位元を持つとは限らない）環 ''R'' についても、それを係数にもつ多項式が定義される。 環 ''R'' に対し、不定元 ''x'' と任意の非負整数 ''n'' に対し、新たな不定元 ''x''''n'' を用意する。ただし、''x''1 は自然に ''x'' と同一視する。''x''''n''、あるいは、集合 ''R''''n'' = の元を ''n'' 次の単項式と呼ぶ（2つの流儀が存在する）。 このとき、適当な ''n'' ∈ N をとってできる、単項式の形式的な線型結合 : (''a''''i'' ∈ ''R'' for all ''i'') を ''x'' を変数とする ''R'' 上の（あるいは、係数 を ''R'' にもつ）多項式と呼ぶ。ただし 0 ''x''''i'' は 0 と同一視する。''x'' を変数とする ''R'' 上の多項式全体の成す集合 ''R'' とあらわし、''R'' を ''R'' の係数環とよぶ。''R'' は ''a'' ↦ ''ax''0 によって ''R'' に埋め込まれ、通常この同一視によって ''R'' ⊂ ''R'' と見なされる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「多項式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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