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数学において、多項式の展開 (たこうしきのてんかい、) とは、複数の多項式の積をひとつの多項式で表すことをいう。これは、因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧が無くなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、冪級数に対するものに自然に拡張される。 == 概要 == 分配法則 :''a''(''b'' + ''c'') = ''ab'' + ''ac'' を用いることで、多項式の積をひとつの多項式で表すことができる。まず、帰納法により、第二因子が ''n'' 個の項の和である場合の分配法則を得る。 :''a''(''b''1 + … + ''b''''n'') = ''ab''1 + … + ''ab''''n'' 第一因子も複数の項の和である場合、すなわち :(''a''1 + … + ''a''''m'')(''b''1 + … + ''b''''n'') については、次のように計算される。 #第一因子を ''A'' とおくと、''A''(''b''1 + … + ''b''''n'') となる #分配法則により、これは ''Ab''1 + … + ''Ab''''n'' に等しい #この式の第 ''i'' 項は (''a''1 + … + ''a''''m'')''b''''i'' であり、再び分配法則を用いると、これは ''a''1''b''''i'' + … + ''a''''m''''b''''i'' に等しい #よって、全体は (''a''1''b''1 + … + ''a''''m''''b''1) + … + (''a''1''b''''n'' + … + ''a''''m''''b''''n'') に等しい この結果を記号 Σ を用いて書くならば : である。言葉で表現するならば、 ということである。第一因子が ''m'' 個の項の和、第二因子が ''n'' 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは ''mn'' 通りであるから、展開した結果は ''mn'' 個の項の和になる。 3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、 ことがしたがう。''k'' 個の多項式の積であって、''i'' 番目の多項式が ''n''''i'' 個の項の和であれば、展開した結果は ''n''1 … ''n''''k'' 個の項の和になる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「多項式の展開」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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