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環論とホモロジー代数において、環 ''A'' の左（右）大局次元あるいは大域次元（）（または大局ホモロジー次元（）、ときには単にホモロジー次元（）と呼ばれる）は、すべての左（右） ''A''-加群の射影次元の集合の上限として定義される環のホモロジー的不変量である。それは非負の整数か無限大に値をとり l. gl. dim ''A'' （r. gl. dim ''A'' ）と書かれる。さらに両者が一致するときには単に大局次元と言い gl. dim ''A'' と書かれる。 一般の非可換環 ''A'' に対しては左と右の大局次元は異なるかもしれない。しかしながら、''A'' が左かつ右ネーター環であれば、これらの大局次元は両方とも、定義が左右対称的な弱大局次元に等しいことがわかる。したがって、左かつ右ネーター環に対しては、両者は一致し、大局次元について話すことが正当化される。 大局次元は可換ネーター環の次元論で重要な技術的概念である。 == 例 == ''A'' = ''k''..., ''x''''n'' を体 ''k'' 上の ''n'' 変数多項式環とする。このとき ''A'' の大局次元は ''n'' と等しい。このステートメントはダフィット・ヒルベルトによる多項式環のホモロジー的性質の基礎的な研究にさかのぼる。を参照。より一般的に、''R'' が有限の大局次元 ''d'' のネーター環で ''A'' = ''R'' が ''R'' 上一変数の多項式環であれば、''A'' の大局次元は ''d'' + 1 に等しい。 自然数 ''n'' が平方因子を持たないときには環 Z/''n''Z の大局次元は無限大である。 体 ''k'' の標数が有限群 ''G'' の位数を割り切るとき群環 ''kG'' の左大局次元は無限大である〔。 1次のワイル代数 ''A''1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。 体 ''k'' の標数が有限群 ''G'' の位数を割り切るとき群環 ''kG'' の左大局次元は無限大である〔。 1次のワイル代数 ''A''1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。 'Z の大局次元は無限大である。 体 ''k'' の標数が有限群 ''G'' の位数を割り切るとき群環 ''kG'' の左大局次元は無限大である〔。 1次のワイル代数 ''A''1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「大局次元」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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