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数学における完備測度（かんびそくど、）あるいはより正確に完備測度空間（かんびそくどくうかん、）とは、すべての零集合の部分集合が（測度ゼロとなって）可測であるような測度空間のことを言う。より形式的に言うと、(''X'', Σ, ''μ'') が完備であるための必要十分条件は、次が成立することである： : == 動機 == 完備性の問題について考える必要性は、直積空間に関する問題を考える上で生じる。 すでに実数直線上のルベーグ測度は構成出来ているものとする。この測度空間を (R, ''B'', ''λ'') で表す。今、平面 R2 上のある二次元ルベーグ測度 ''λ''2 を積測度として構成することを考える。単純に考えて、R2 上の''σ''-集合代数を、''A''''i'' ∈ ''B'' に対してすべての可測な「長方形領域」''A''1 × ''A''2 を含む最小の ''σ''-集合代数 ''B'' ⊗ ''B'' として取る。 この方法は測度空間を定義するが、欠点がある。すべての単元集合に対して一次元ルベーグ測度はゼロであるため、 : が R の任意の部分集合 ''A'' に対して成立する。しかし、''A'' をヴィタリ集合のような実数直線のとすると、 × ''A'' の ''λ''2-測度は定義されないが、 : およびこのより大きな集合は ''λ''2-測度ゼロを持つ。したがって、今定義された「二次元ルベーグ測度」は完備ではなく、ある種の完備化の手順が要求されることになる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「完備測度」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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