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位相空間論あるいは解析学において、距離空間 ''M'' が完備（かんび、）またはコーシー空間（コーシーくうかん、）であるとは、''M'' 内の任意のコーシー点列が ''M'' に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (''completion'') として常に可能である。 == 例 == 有理数全体の成す集合に差の絶対値によって定義される標準距離函数を備えた空間 Q は完備でない。例えば : で定義される列を考えると、これは有理コーシー数列だが如何なる有理数にも収束しない。実際、これが何らかの有理数 ''x'' に収束するならば、''x'' は ''x''2 = 2 を満たさねばならないが、これを満たす有理数は存在しない。しかしながら、同じ列を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。 同様に単位開区間 (0,1) に絶対値による距離を入れた空間は、やはり完備でない。例えば ''x''''n'' = で定義される数列はコーシーだが極限は元の空間に入らない。一方、単位閉区間 は完備である。先ほどと同じ列はこの空間内に極限を持ち、0 に収束する。 実数全体の成す空間 R や複素数全体の成す空間 C（ともに絶対値による距離を入れる）は完備であり、同様にユークリッド座標空間 R''n'' も通常の距離函数に関して完備である。これと対照的に、無限次元ノルム線型空間は完備になることもならないことも起こり得る（完備な場合をバナハ空間と呼ぶ）。有界閉区間上で定義された実数値連続函数の空間 C は上限ノルムに関してバナハ空間、つまり完備距離空間になる。しかし上限ノルムは、有界開区間上の連続関数の空間 C(''a'', ''b'') では（非有界関数が含まれるために）ノルムにならない。代わりに、コンパクト収束の位相を考えると空間 C(''a'', ''b'') にはフレシェ空間の構造を与えることができる。これは、完備で平行移動不変な距離関数によってその位相が誘導されるような局所凸位相線型空間である。 任意の素数 ''p'' に対して、''p''-進数全体の成す空間 Q''p'' は完備である。この空間は有理数の空間 Q を ''p''-進距離で完備化したものである（同様の仕方で、Q を通常の距離で完備化したものは実数の空間 R になる）。 任意の集合 ''S'' に対して ''S'' 内の点列全体の成す集合 ''S''N は、点列 (''x''''n'') と (''y''''n'') との間の距離を、''x''''N'' と ''y''''N'' とが相異なるような最小の添字を ''N''（そのような添え字が無い場合は ''N'' = 0）として、 と定めれば完備距離空間になる。この空間は離散空間 ''S'' の可算個のコピーの積位相空間に同相である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「完備距離空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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