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数学において、位相空間 ''X'' が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、）というのは、雑に言って、''X'' の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を占めているのに対して、数学で扱う重要な位相空間の多くが局所コンパクトである。特に局所コンパクトなハウスドルフ空間は数学の中で重要な位置を占める。 == 定義 == 位相空間 ''X'' が局所コンパクトであるとは、任意の点 ''x'' ∈ ''X'' に対して、''x'' の近傍 ''U'' でコンパクトなものが存在することである。 これと類似した以下の様な定義が採用されることもある。 :0. 任意の点 ''x'' ∈ ''X'' に対して、''x'' の近傍 ''U'' でコンパクトなものが存在する。 :1. 任意の点 ''x'' ∈ ''X'' に対して、''x'' の閉近傍 ''U'' でコンパクトなものが存在する。 :2. 任意の点 ''x'' ∈ ''X'' に対して、''x'' のコンパクトな近傍が ''x'' の近傍基をなす。 :3. 任意の点 ''x'' ∈ ''X'' に対して、''x'' のコンパクトな閉近傍が ''x'' の近傍基をなす。 ハウスドルフ空間ではこれらは全て同値になる。 (0) はここでの定義であり、この中で一番弱く (1)、(2)、(3) は (0) を含意している。 (3) はこの中で一番強く (0)、(1)、(2) を含意している。 無限集合に補有限位相を入れたものは (0)、(1)、(2) を満たすが (3) を満たさない。 有理数体 Q の一点コンパクト化は (0)、(1) を満たすが (2)、(3) を満たさない。 自然数全体 N0 に「開 ⇔ 0を含む又は空」となる位相を入れた空間は (0)、(2) を満たすが (1)、(3) を満たさない。 前述の例の２つ目と３つ目の空間の直和は (0) を満たすが (1)、(2)、(3) を満たさない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「局所コンパクト空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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