|
数学、とくに代数学・代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、cyclic algebra）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環 (central simple algebra) の一種で、四元数環の一般化。 ==定義== ''L''/''K'' を体の ''n'' 次巡回拡大とし、そのガロア群 Gal(''L''/''K'') の生成元を σ とする。このとき、β ∈ ''K''×（''K''× は ''K'' の乗法群）, ''L''/''K'', σ によって定まる ''K'' 上の巡回多元環 ''A'' とは次のようなものである： * ''A'' は ''n'' 個の文字 を基底とする ''L'' 上の ''n'' 次元ベクトル空間（ただし、1''A'' = ''j''0, ''j'' = ''j''1 と見なす）。あるいは同じことだが、''j''''k'' の生成する ''L'' 上の 1 次元ベクトル空間 ''Lj''''k'' (0 ≤ ''k'' < ''n'') の直和。 * * 文字 ''j'' は指数法則 ''j''''k'' · ''j''''l'' = ''j''''k''+''l'' と ''j''''n'' = β に従う。 * ''x'' ∈ ''L'' ならば ''j''''k'' · ''x'' = σ''k''(''x'') · ''j''''k'' (0 ≤ ''k'' < ''n'') を満たす。ただし、σ''k'' は σ の ''k'' 回合成写像。 ''A'' の一般の元 ''x'', ''y'' の積は とおくと となる。特に、σ は ''K'' の元を動かさない ''L'' の自己同型であるから、''c'' ∈ ''K'' に対して ''j''''k''''c'' = ''cj''''k'' (0 ≤ ''k'' < ''n'') となり、逆にこのような ''c'' は ''K'' の元に限るから、''A'' の中心が ''K'' であることがわかる。 ''K'' の単元 β、巡回拡大 ''L''/''K''、ガロア群の生成元 σ から構成される巡回多元環を、巡回多元環 (β, ''L''/''K'', σ) などと表すこともある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「巡回多元環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|