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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 差分商 ： ウィキペディア日本語版 差分法[さぶんほう] 数値解析における有限差分法（ゆうげんさぶんほう、）あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似（差分商）で置き換えて得られる差分方程式で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。 今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である == 精度と誤差 == 解の誤差とは、真の解析解と近似解との間の差として定義される。有限差分法における誤差の原因は丸め誤差および打ち切り誤差または離散化誤差である。 問題に対する解の近似に有限差分法を用いるためには、まず初めに問題の領域を離散化しなければならない。これは普通は、その領域を一様な格子に分ければよい。これは有限差分法がしばしば「時間刻み」な仕方で微分に対する離散的な数値近似の集合を提供することを意味することに注意。 : $f(x\_i)=f(x\_0+i\; h)$. 一般に注目すべきはで、典型的にはこれを O-記法で表す。局所打ち切り誤差は、各点における誤差について言うもので、真値 と近似値 との差 : $f\text{'}(x\_i)\; -\; f\text{'}\_i$ として書ける。この誤差の評価には、テイラー展開の剰余項を見るのが簡便である。式 に対するテイラー展開のラグランジュ型剰余項 : から、局所打ち切り誤差の支配項が求められる。例えば、一階差分近似 () を考えれば : $f(x\_0\; +\; i\; h)\; =\; f(x\_0)\; +\; f\text{'}(x\_0)i\; h\; +\; \backslash frac\; (i\; h)^$ であり、適当な代数的操作で : $\backslash frac\; =\; f\text{'}(x\_0)\; +\; \backslash frac\; i\; h$ と書きなおすと、この左辺は有限差分法で得られる近似値であり、右辺が真値と剰余項の和である。明らかにこの剰余項が局所打ち切り誤差であり、そのオーダーが : $\backslash frac\; =\; f\text{'}(x\_0)\; +\; O(h)$ となることが分かる。この場合、局所打ち切り誤差は刻み幅に比例するということになる。有限差分法の近似解の精度と計算量は方程式の離散化の仕方や刻み幅の取り方に依存する。これらは刻み幅を小さくするにつれ著しく増加するから、実用上は必要な精度と計算時間を天秤にかけて十分合理的な条件で近似を行う。時間の刻み幅が大きければ多くの場合に計算速度は早くなるが、大きくしすぎると不安定性を生じ、データの精度に問題がでる。 数値モデルの安定性を決定するために、フォン・ノイマンの安定性解析を用いるのが普通である〔〔。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「差分法」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Finite difference method 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.