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抽象代数学において、自由アーベル群 (free abelian group) あるいは自由 Z-加群 (free Z-module) とは基底をもったアーベル群である。つまり、それは結合的、可換、可逆な二項演算をもった集合であって、その基底はその元であって群のすべての元が有限個が 0 でない整数係数の基底の元の線型結合としてちょうど1通りの方法で書けるようなものからなる部分集合である。よく知られた例には整数全体（群の演算は加法であり基底は単元集合 ）や integer lattices がある。基底 ''B'' をもった自由アーベル群の元はまた ''B'' 上の形式和 (formal sum) とも呼ばれる。インフォーマルには、形式和は ''B'' の元からなる符号付き多重集合と見ることができる。自由アーベル群と形式和は代数トポロジーと代数幾何学に応用をもつ。それらは前者ではを定義するために使われ、後者では因子を定義するのに使われる。 すべての集合 ''B'' は ''B'' を基底としてもつ自由アーベル群をただ1つもつ。この群は整数のなす加法群のコピーの直和として ''B'' の元1つに対し1つのコピーとして構成できる。その元は ''B'' から整数への、0 でない値を有限個とる関数と解釈することができ、その群演算はこれらの関数の :en:pointwise な加法である。あるいは、基底 ''B'' をもった自由アーベル群は ''B'' の元を生成元とし元の対の交換子を関係とする表現によっても記述できる。 自由アーベル群はベクトル空間と似た性質をもっていて一般のアーベル群を自由アーベル群の「関係」による商として理解できる。すべての自由アーベル群は基底の濃度として定義されるランクをもっている。ランクは群を同型を除いて決定し、そのような群の元は基底の元の有限形式和として書くことができる。自由アーベル群のすべての部分群はそれ自身自由アーベル群であり、一般のアーベル群を自由アーベル群の間の単射準同型の余核として記述することができる。 == 例と構成 == === 整数と格子 === 整数全体は、加法演算のもとで、基底 をもつ自由アーベル群をなす。すべての整数 ''n'' は整数係数の基底の元の線型結合である。すなわち ''n'' = ''n'' × 1 であり、係数は ''n'' である。 整数のカルテシアン座標をもつ平面上の点からなる2次元はのもとで基底 をもつ自由アーベル群をなす〔.〕。 および とすれば、元 (4,3) は次のように書ける。 : ただし'積'は であるように定義される。 この基底において、(4,3) を書く他の方法は存在しないが、 のような別の基底をとれば、, とおくと、次のように書ける。 :. より一般に、すべての格子は有限生成自由アーベル群をなす〔.〕。''d'' 次元の整数格子は ''d'' 個の単位ベクトルからなる自然な基底をもつが、他の基底もたくさんもつ。''M'' が ''d'' × ''d'' 整数行列で行列式が ±1 であれば、''M'' の列は基底をなし、逆に整数格子のすべての基底はこの形である〔.〕。2次元の場合についてより詳しくは、:en:fundamental pair of periods を見よ。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「自由アーベル群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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