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指数写像 : ウィキペディア日本語版
リー環の指数写像[しすうしゃぞう]

リー群論において、指数写像(しすうしゃぞう、)は、リー群のリー環から局所的な群構造を取り出せるような、リー環からリー群への写像である。指数写像の存在はリー環のレベルでリー群を研究することの主要な正当性の1つである。
解析学の通常の指数関数は ''G'' が正の実数の乗法群(そのリー環は実数全体のなす加法群)のときの指数写像という特別な場合である。リー群の指数写像は通常の指数関数の性質と類似の多くの性質を満たすが、しかしながら、多くの重要な面において異なりもする。
==定義==

Gリー群とし \mathfrak g を(G単位元における接空間として考える)そのリー環とする。指数写像 (exponential map) は以下のようにいくつかの異なる方法で定義できる写像
:\exp\colon \mathfrak g \to G
である:
*\exp(X) = \gamma(1)。ただし
::\gamma\colon \mathbb R \to G
:は単位元におけるが X に等しいような G の唯一のである。チェインルールから \exp(tX) = \gamma(t) が容易に従う。写像 \gammaX に伴う右あるいは左不変なベクトル場のとして構成することができる。すべての実パラメータに対して積分曲線が存在することは 0 の近くでの解を右または左移動することによって従う。
*が左移動によって与えられるような ''G'' 上の標準的な左不変なアフィン接続の指数写像。つまり、\exp(X) = \gamma(1) ただし \gamma は始点が単位元で(接ベクトルと考える)始速度が ''X'' の唯一の測地線である。
*''G'' の標準的な右不変なアフィン接続の指数写像。これは通常標準的な左不変な接続とは異なるが、どちらの接続も同じ測地線(左または右からの積によって作用する1パラメータ部分群の軌道)を持つので同じ指数写像を与える。
* G が行列リー群であれば、指数写像は行列の指数関数と一致し、通常の級数展開によって与えられる:
::\exp (X) = \sum_^\infty\frac = I + X + \fracX^2 + \fracX^3 + \dotsb
:(ここで I単位行列である)。
* ''G'' がコンパクトであれば、左及び右移動で不変なリーマン計量を持ち、指数写像はである。
*もまた定義を与える:\mathfrak g の元 ''X'' に対し、t \mapsto \exp(tX) はリー環準同型 t \mapsto tX に対応する唯一のリー群準同型である。(注: \operatorname(\mathbb) = \mathbb

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「リー環の指数写像」の詳細全文を読む



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