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数学において、アーベル群 ''A'' のランク (rank)、階数、プリューファーランク (Prüfer rank)、あるいは捩れなしランク (torsion-free rank) は極大線型独立部分集合の濃度である。''A'' のランクは ''A'' に含まれる最大の自由アーベル群のサイズを決定する。''A'' が捩れなしであれば次元がランク ''A'' の有理数体上のベクトル空間に埋め込まれる。有限生成アーベル群に対して、ランクは強い不変量でありすべてのそのような群はそのランクと捩れ部分群によって同型を除いて決定される。は完全に分類されている。しかしながら、より高いランクのアーベル群の理論はより難解である。 用語ランクはの文脈では異なる意味を持つ。 == 定義 == アーベル群の部分集合 が（Z 上）線型独立 (linearly independent) であるとは、これらの元の線型結合で0になるのは自明なものしかないということである。つまり、 : ただし有限個を除くすべての係数 ''n''''α'' は 0 （なので和は実質有限）であれば、すべての係数は 0 である。''A'' における任意の 2 つの極大線型独立集合は同じ濃度をもち、''A'' のランク、階数 (rank) と呼ばれる。 アーベル群のランクはベクトル空間の次元に類似である。ベクトル空間の場合との主な違いは捩れの存在である。アーベル群 ''A'' の元は位数が有限であるときに捩れと分類される。すべての捩れ元からなる集合は部分群であり、捩れ部分群 (torsion subgroup) と呼ばれ ''T''(''A'') と表記される。群は非自明な捩れ元をもたないときに捩れなし (torsion-free) と呼ばれる。剰余群 ''A''/''T''(''A'') は ''A'' の唯一の極大捩れなし商であり、そのランクは ''A'' のランクと一致する。 類似の性質をもったランクの概念は任意の整域上の加群に対して定義できる。アーベル群のケースは Z 上の加群に対応する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アーベル群のランク」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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