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整な元 : ウィキペディア日本語版
整拡大[せいかくだい]
可換環論において、可換環 ''B'' とその部分環 ''A'' について、''B'' の元 ''b'' が ''A'' 係数のモニック多項式の根であるとき、''b'' は ''A'' 上整である(integral over ''A'')という。''B'' のすべての元が ''A'' 上整であるとき、''B'' は ''A'' 上整である、または、''B'' は ''A'' の整拡大(integral extension)であるという。
本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。
== 定義 ==
''B'' を環、''A'' をその部分環とする。''b'' ∈ ''B'' が ''A'' 上整であるとは、
:b^n + a_ b^ + \dotsb + a_1 b + a_0 = 0
を満たす自然数 ''n'' ≥ 1 と ''A'' の元 ''a''0, …, ''a''''n''−1 が存在することである。''B'' の元がすべて ''A'' 上整であるとき、''B'' は ''A'' 上整である、または、''B'' は ''A'' の整拡大であるという。
''B'' の元で ''A'' 上整であるものすべてのなす集合は ''B'' の部分環となり、これを ''B'' における ''A'' の整閉包という。''B'' における ''A'' の整閉包が ''A'' 自身であるとき、''A'' は ''B'' において整閉であるという。
''A'' と ''B'' がのとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大代数的閉包と呼ばれる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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