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数学において、整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 ''S'' 上の整列順序関係 とは、''S'' 上の全順序関係 "≤" であって、''S'' の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (''S'', ≤) を慣例に従ってしばしば単純に ''S'' で表す。 == 導入 == 整列集合 ''X'' の任意の元 ''s'' は、それが ''X'' の最大元でない限り、ただ一つの後者（; 後継、次の元、直後の元）を持つ。これはつまり、''s'' よりも大きな ''X'' 元全体の成す部分集合における最小元として ''s'' の後者が決まるということである。また、整列集合 ''X'' の中で上に有界な任意の部分集合は（その上界全体の成す ''X'' の部分集合に最小元がとれるから）必ず上限を持つ。あるいは整列集合 ''X'' には、前者（; 直前の元）を持たない元が必ず存在する（それはもちろん、''X'' 全体における最小元である）。 集合に整列順序が与えられれば、そこでは集合の全ての元に対する命題の超限帰納法を用いた証明を考えることができる。 自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。 （選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「整列集合」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Well-order 」があります。 スポンサード リンク
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