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最大と最小[さいだいとさいしょう]
数学の様々な分野で順序が定まった対象に対し、最大のものや最小のものが考察されている。最大のものを表す標準的な記号として max、最小のものを表すものとして min がもちいられる。この記事では最大・最小に関係した様々な話題を紹介する。
== 順序集合の最小元 ==
順序構造の入った集合 O が与えられたときに、Oの部分集合 S に対してその最大元や最小元が存在するか、という問いをたてることができる。大小関係に基づいた順序を持つ実数の集合 Rと、その部分集合である開区間 (0, 1) の例に見られるように、一般的な順序集合については最大元も最小元も持たないような部分集合が存在しうる。
一方で自然数の集合 N （通常の大小関係に基づいて順序を入れる）は、そのどんな部分集合も最小の元を持っている。このように、全順序集合であってその任意の部分集合が最小元を持つようなものは整列順序集合とよばれる。選択公理を仮定することで、任意の集合の上に整列順序関係を導入できることが示される。
抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』
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