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有理多様体[ゆうりたようたい]
数学では、与えられた体 K 上で定義された代数多様体で K 上のある次元の射影空間と双有理同値な代数多様体を、有理多様体(rational variety)と言う。有理多様体は、代数多様体上の函数体が、ある不定元の集合 の有理函数の体 : に同型であることを意味する。ここの ''d'' は、(dimension of an algebraic variety)である。
==有理性とパラメータ化==
''V'' を の素イデアル I=⟨f1, ..., fk⟩ で定義された次元 ''d'' のアフィン代数多様体とする。''V'' が有理的ならば、 の ''n'' + 1 個の多項式 g0, ..., gn が存在し、となる。言い換えると、多様体の有理パラメータ化 が得られる。 逆に、そのような有理パラメータ化があると、 への V の函数体の体準同型が存在する。しかしこの準同型は、必ずしも上への写像とは限らない。そのような上へのパラメータ化が存在する場合を、多様体は単有理的(unirational)という。リューロスの定理(以下を参照)は、単有理的な曲線は有理的であることを意味している。カステルヌオボーの定理は、標数がゼロのとき、全ての単有理的な曲面は有理曲面であることを言っている。
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