|
数学の分野において、ある集合 ''X'' 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 ''f'' が有界函数（ゆうかいかんすう、）であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、''X'' 内のすべての ''x'' に対して : が成り立つような、''x'' ''に依らない''実数 ''M'' が存在することを言う。 しばしば、''X'' 内のすべての ''x'' に対して が成立するとき、その函数は上界 ''A'' によって上から抑えられる（）と言い、そのような ''A'' が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、''X'' 内のすべての ''x'' に対して が成立するとき、その函数は下界 ''B'' によって下から抑えられる（）と言い、そのような ''B'' が存在するときその函数は下に有界であるという。 （しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども）この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。 有界函数の概念の重要で特別な場合として、''X'' を自然数全体の集合 N と取って有界数列（）が考えられる。すなわち、ある数列 (''a''0, ''a''1, ''a''2 , ...) が有界であるとは、ある実数 ''M'' が存在して、すべての自然数 ''n'' に対して : が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合（にベクトル空間の構造を入れたもの）は数列空間を成す。 この定義は、距離空間 ''Y'' に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 ''X'' 上で定義される函数 ''f'' が有界であるとは、''Y'' 内のある ''a'' に対して適当な実数 ''M'' を取れば、距離函数 ''d'' で測った ''a'' と ''f''(''x'') との距離が ''M'' 以下にできること、すなわち : が ''X'' 内のすべての ''x'' に対して成立することを言う。この場合、''a'' を他の任意の点に取り換えても、三角不等式により、同様な性質を持つ ''M'' を取ることができる。 == 例 == * 実函数 ''f'': R → R として正弦函数 ''f'' (''x'' ) = sin ''x'' を定義するならば、これは有界である。一方、この函数をガウス平面全体で定義された複素函数と考えるならば、もはや有界でない。 * −1 と 1 を除くすべての実数 ''x'' に対して定義される函数 *:: *:は、非有界である。なぜならば、''x'' が −1 あるいは 1 へと近付くにつれて、この函数の絶対値はいくらでも大きくなるからである。しかし、例えば定義域を ∞) あるいは (−∞, -2 としたときは、この函数は有界となる。 * すべての実数 ''x'' に対して定義される函数 *:: *:は、有界である。 * ''f'' : → R のような連続函数はすべて有界である。これは特殊な例であり、より一般的な次の事実が知られている：コンパクト空間から距離空間への連続関数はすべて有界である。 * 有理数の ''x'' に対しては 0 となり、無理数の ''x'' に対しては 1 となるような函数 ''f'' は、有界である。したがって、函数が有界であるためには必ずしもそれが「良い」ものでなくてもよい。 上で定義されるすべての有界函数の集合は、その区間上で定義されるすべての連続函数の集合よりも、大きい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「有界函数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Bounded function 」があります。 スポンサード リンク
|