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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 有限指数 ： ウィキペディア日本語版 部分群の指数[ぶぶんぐんのしすう] 数学、とくに群論において、群 ''G'' における部分群 ''H'' の指数 (index) は ''G'' における ''H'' の「相対的な大きさ」である。同じことだが、''G'' を埋め尽くす ''H'' の「コピー」（剰余類) の個数である。例えば、''H'' が ''G'' において指数 2 をもてば、直感的には ''G'' の元の「半分」は ''H'' の元である。''H'' の ''G'' における指数は通常 |''G'' : ''H''| あるいは あるいは (''G'':''H'') で表記される。 正式には、''H'' の ''G'' における指数は ''H'' の ''G'' における剰余類の個数として定義される。（''H'' の ''G'' における左剰余類の個数はつねに右剰余類の個数と等しい。）例えば、Z を整数のなす加法群とし、2Z を偶数全体からなる Z の部分群とする。すると 2Z は Z において2つの剰余類（すなわち偶数全体と奇数全体）をもち、したがって 2Z の Z における指数は 2 である。一般化すると、任意の正の整数 ''n'' に対して :$|\backslash mathbf:n\backslash mathbf|\; =\; n$ である。 ''N'' が ''G'' の正規部分群であれば、''G'' における ''N'' の指数はまた商群 ''G'' / ''N'' の位数にも等しい、なぜならばこれは ''G'' における ''N'' の剰余類の集合における群構造の言葉で定義されるからである。 ''G'' が無限であれば、部分群 ''H'' の指数は一般には 0 でない基数になる。上の例が示すように、それは有限 - つまり、正の整数 - かもしれない。 ''G'' と ''H'' が有限群であれば、''H'' の ''G'' における指数は 2 つの群の位数の商に等しい： :$|G:H|\; =\; \backslash frac.$ これはラグランジュの定理であり、この場合商は必ず正の整数である。 ==性質== * ''H'' が ''G'' の部分群で ''K'' が ''H'' の部分群であれば、 ::$|G:K|\; =\; |G:H|\backslash ,|H:K|.$ * ''H'' と ''K'' が ''G'' の部分群であれば、 ::$|G:H\backslash cap\; K|\; \backslash le\; |G\; :\; H|\backslash ,|G\; :\; K|,$ : ''HK'' = ''G'' ならば等号成立。（ |''G'' : ''H'' ∩ ''K''| が有限であれば、等号成立 ⇔ ''HK'' = ''G''。） * 同じことだが、''H'' と ''K'' が ''G'' の部分群であれば、 ::$|H:H\backslash cap\; K|\; \backslash le\; |G:K|,$ : ''HK'' = ''G'' ならば等号成立。（ |''H'' : ''H'' ∩ ''K''| が有限であれば、等号成立 ⇔ ''HK'' = ''G''。） * ''G'' と ''H'' が群で ''φ'': ''G'' → ''H'' が準同型であれば、''φ'' の核の ''G'' における指数は像の位数に等しい： ::$|G:\backslash operatorname\backslash ;\backslash varphi|=|\backslash operatorname\backslash ;\backslash varphi|.$ * ''G'' を集合 ''X'' に作用している群とし、''x'' ∈ ''X'' とする。このとき ''G'' のもとでの ''x'' の軌道の濃度は ''x'' の固定部分群 (stabilizer) の指数に等しい： ::$|Gx|\; =\; |G:G\_x|.\backslash !$ :これは orbit-stabilizer theorem として知られている。 * orbit-stabilizer theorem の特別な場合として、元 ''x'' ∈ ''G'' 共役 ''gxg''−1 の個数は ''G'' における ''x'' の中心化群の指数に等しい。 * 同様に、''G'' において部分群 ''H'' の共役 ''gHg''−1 の個数は ''G'' における ''H'' の正規化群の指数に等しい。 * ''H'' が ''G'' の部分群であれば、''H'' の正規核の指数は以下の不等式を満たす： ::$|G:\backslash operatorname(H)|\; \backslash le\; |G:H|!$ :ただし ! は階乗関数を表す。これは以下でさらに議論される。 : * 系として、''G'' における ''H'' の指数が 2 であれば、あるいは有限群に対して ''G'' の位数を割り切る最小の素数 ''p'' であれば、''H'' は正規である、なぜならばその核の指数もまた ''p'' でなければならず、したがって ''H'' はその核に等しい、すなわち正規である。 : * 最小素数の部分群は存在しないかもしれないことに注意しよう。例えば非素数位数の任意の単純群やより一般に任意の :en:perfect group。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「部分群の指数」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.