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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 有限級数 ： ウィキペディア日本語版 級数[きゅうすう] 数学における級数 (きゅうすう、) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。 級数を表す記法として、和記号 ∑ を用いた表現 ∑ ''a''''n'' や三点リーダ ⋯ を用いた表現 ''a''0 + ''a''1 + ⋯ などがある。 有限個の項以外は 0 とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には無限級数とも言う。無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。もっともよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先 : $\backslash frac\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\; =\; 1\; -\; \backslash frac\; \backslash Rightarrow\; \backslash frac\; +\; \backslash frac\; +\; \backslash frac\; +\; \backslash cdots\; =\; 1\; \backslash quad$ を無限級数の値とすることである。このほかに、解析接続などの手法により、みかけ上発散している級数に対して : $1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; \backslash cdots\; =\; -\backslash frac$　（1+2+3+4+…を参照のこと） のような等式が意味付けされることもある。 == 定義 == ''N'' を任意の自然数とするとき、与えられた無限数列 に対し、初項から第 ''N'' 項までの、初めの有限項の和〔数列の添字をしばしば 0 から始めるので、都合で第 0 項を含めてあるが、初項が第 0 項か第 1 項かというのは本質的な問題ではない。〕 :$S\_N\; :=\; a\_0\; +\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_N\; =\; \backslash sum\_^\; a\_n$ を数列 あるいは級数 ∑ ''a''''n'' の第 ''N''-部分和 () と呼び、また ''N'' に依らず総称して部分和と呼ぶ。「無限個の項の和」の意味が必ずしも明らかではない場合も含めて、形式的な意味での（無限）級数とはこの部分和からなる列 自身のことであると理解される（各項 ''S''''N'' は有限級数と呼ばれることもある）。またこの部分和の列自身を「形式的な和」として :$a\_0\; +\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash cdots,\backslash quad\; \backslash sum\_^\; a\_n,\backslash quad\; \backslash sum\_\; a\_n,\backslash quad\; \backslash sum\_n\; a\_n$ などの形で書きあらわす〔便宜上の理由で、しばしば同じ記号で「形式和」と「和の値」の両方を表すが、いずれの意味で用いているかは文脈から容易に区別できるはずである。〕。ただし、これはそう書くというだけのことであって、この式自体に特別の意味があるということではない。これに「総和」としての意味のある値を結びつけるには、きちんとした理由付けが必要である。たとえば、与えられた無限列は有限個の例外を除く全ての項が 0 であるという場合（実質有限列）ならば、値が 0 である項は和に寄与しない（ので無いも同然の）ものと考えることにより、0 でない有限個の項の総和の値を以って所期の級数の値、すなわち無限個の項の総和であるとすることは自然である。一般の無限列が実質的有限であることは必ずしも期待できないので、その場合に意味のある議論を行うには、やはり極限や収束について考えられなければならない。 有限個の項の和である部分和には、通常の如く素朴な意味での和の値というものが定義されている。部分和の列 が適当な意味で収束して有限な値 α を持つならば、級数 ∑ ''a''''n'' は収束 () するといい、α を数列 あるいは級数 ∑ ''a''''n'' の和の値と呼んで、 :$\backslash sum\_^\; a\_n\; =\; \backslash alpha\; =\; \backslash lim\_S\_N$ で表す〔。部分和が有限な値に収束しない（極限が無いかあっても有限でない）級数は発散 () するという。級数に和の値が結び付けられているとき、しばしば便宜的に「級数の和の値」の意味で「級数」という言葉を用いることがある（和の値を単に和と呼ぶことがあるのと同様である）。これらは厳密に言えば異なる概念であるが、いずれの意味であるのかは文脈から明らかなはずである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「級数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Series (mathematics) 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.