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数学において、集合が有限（ゆうげん、）であるとは、自然数 ''n'' を用いて という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう（ただしここでは、''n'' = 0 の場合も許される。この場合は空集合であることを意味するのであり、これも有限集合の一種と考えるということである）。このような集合を有限集合（ゆうげんしゅうごう、）とよび、有限でない集合を無限集合と呼ぶ。 また同じことだが、集合が有限であるとはその濃度（元の個数）が自然数である場合にいう。特に、濃度が ''n'' である集合を「''n'' 元集合（''n''-set）」と総称する。例えば、−15 から 3 まで（両端を含まない）の整数の集合は17個の元があり、有限である。したがってこれは17元集合である。一方、全ての素数たちの成す集合は の濃度を持つ無限集合である。 どんな真部分集合との間にも全単射が存在しないような集合は、デデキント有限集合と呼ばれる。可算選択公理（弱い形の選択公理）が成り立つなら、集合が有限であることとデデキント有限であることは同値である。そうでない場合には（奇異なことに）無限かつデデキント有限な集合が存在しうる（「基礎付け問題」の節を参照）。 全ての有限集合は可算であるが、全ての可算集合が有限というわけではない。ただし、書籍によっては「可算」を「可算無限」の意味に使っており、その場合は有限集合は可算ではない。 == 有限集合の構成 == * ''x'', ''y'' がどんな元だったとしても、, , といったような集合は有限集合である。 * 有限個の有限集合たちの和集合はふたたび有限集合となる。 * 有限集合の冪集合はやはり有限集合である。 * 有限集合の任意の部分集合は有限である。 * 有限集合を定義域とする関数の値域は有限である。 * 有限個の有限集合たちから成る直積集合はまた有限である。 一方で、（無限公理によって存在が保証されるところの）自然数全体の成す集合というのは有限集合ではない。 == 有限性の必要十分条件 == ツェルメロ＝フレンケルの集合論 (ZF) では、以下の条件は全て等価である。 # ''S'' は有限集合である。すなわち、''S'' の元はある特定の自然数以下の自然数の集合の元と一対一対応する。 # ''S'' は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ） # ''S'' は全順序であり、どちらの方向も整列順序である。すなわち、''S'' の空でない全ての部分集合には最小元と最大元がある。 # P(P(''S''))からそれ自身への一対一関数は全単射である。すなわち、''S'' の冪集合の冪集合はデデキント有限である。 # P(P(''S''))からそれ自身への全射は全て一対一対応である。 # ''S'' の部分集合の空でない族は、いずれも包含関係上の最小元を持つ。（アルフレト・タルスキ） # ''S'' 上に整列順序が存在し、その任意の2つの整列順序は順序同型である。言い換えれば、''S'' の整列順序はただ1つの順序型を持つ。 選択公理も成り立つ場合、以下の条件は全て等価である。 # ''S'' は有限集合である。 # ''S'' からそれ自身への一対一関数は全単射である。（リヒャルト・デーデキント） # ''S'' からそれ自身への全射はいずれも一対一対応である。 # ''S'' の半順序はいずれも極大元を含む。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「有限集合」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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