|
数学の一分野である可換環論において、イデアル ''I'' の根基（）とは、イデアルであって、何乗かすれば ''I'' の元となるような元の集合である。根基イデアル（あるいは半素イデアル）とは、自分自身の根基と等しいようなイデアルのことである。（これは「根基化」と呼ばれるイデアルへの作用の固定点であるということもできる。）準素イデアルの根基は素イデアルである。 ここで定義された根基イデアルは半素環の記事において非可換環に一般化される。 ==定義== 可換環 ''R'' のイデアル ''I'' の根基は、Rad(''I'') または と表記され、 : と定義される。 直感的には、''I'' の根基は ''I'' の元のあらゆるベキ根を取ることで得られると考えられる。 同じことだが、''I'' の根基はベキ零元からなるイデアル（冪零イデアルと呼ばれる）の における逆像である〔直接の証明は次のように与えられる。 ''a'' と ''b'' をイデアル ''I'' の根基の元とすると、ある正整数 ''m'' と ''n'' が存在して、''a''''n'' と ''b''''m'' は ''I'' の元である。''a'' + ''b'' が ''I'' の根基の元であることを示す。（可換性が仮定されているので）二項定理を使って (''a''+''b'')''n''+''m''−1 を展開すると、 : となる。各 ''i'' に対し、次の条件のうちちょうど1つが成り立つ。 *''i'' ≥ ''n'' *''n'' + ''m'' − 1 − ''i'' ≥ ''m''. これにより、各式 ''a''''i''''b''''n''+''m''− 1 − ''i'' において、''a'' の指数が十分大きくその ''a'' のベキが ''I'' に入るか、''b'' のベキが十分大きくその ''b'' のベキが ''I'' の入るか、いずれかが成り立つ。（''I'' はイデアルだから）''I'' の元と ''R'' の元の積は ''I'' に入るので、この積の式も ''I'' に入り、(''a''+''b'')''n''+''m''−1 も ''I'' に入り、したがって ''a''+''b'' は ''I'' の根基に入る。 根基がイデアルであることを確認することを終えるために、根基の元 ''a'' をとり、''a''''n'' が ''I'' の元であるとし、さらに任意の元 ''r''∈''R'' をとる。すると、(''ra'')''n'' = ''r''''n''''a''''n'' は ''I'' の元なので、''ra'' は根基の元である。したがって根基はイデアルである。〕。後者は はそれ自身イデアルであり、 ''I'' を含むことを示している。 ''I'' の根基が有限生成ならば、 を何乗かすると ''I'' に含まれる。とくに、''I'' と ''J'' がネーター環のイデアルであれば、''I'' と ''J'' が同じ根基をもつことと、''I'' が ''J'' のあるベキを含み ''J'' が ''I'' のあるベキを含むことは同値である。 イデアル ''I'' が自分自身の根基と一致すれば、''I'' は''根基イデアル''または''半素イデアル''と呼ばれる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「イデアルの根基」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|