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楕円型偏微分方程式 : ウィキペディア日本語版
楕円型偏微分方程式[だえんがたへんびぶんほうていしき]
数学の分野における楕円型偏微分方程式(だえんがたへんびぶんほうていしき、)とは、一般的な二階の偏微分方程式
: Au_ + 2Bu_ + Cu_ + Du_x + Eu_y + F = 0\,
で次の条件を満たすもののことを言う:
:B^2 - AC < 0.\
(ここで、暗に u_=u_ を意味している)。

円錐断面二次形式を分類する際に判別式 B^2 - 4AC を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。しかし、偏微分方程式に対する判別式はそれとは異なり、B^2 - AC で与えられることが慣例となっている(詳細については「二階の方程式(英語版)」を参照されたい)。前述の形式は、平面上の楕円の方程式
: Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0
と同様のものである。この方程式は(u_=u_=0 である場合には)
: Au_ + Cu_ + Du_x + Eu_y + F = 0
および Ax^2 + Cy^2 + \cdots = 0 へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 +-1=0 に類似している。
一般的に、''n'' 個の独立変数 ''x''1, ''x''2 , ..., ''x''''n'' が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される:
: L u =\sum_^n\sum_^n a_ \frac \quad \text =0 \,,
ここで、L は楕円型作用素である。
例えば、三次元 (x,y,z) においては
:a\frac + b\frac + c\frac + d\frac + e\frac \text= 0,
が得られる。ここで、u が(すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z))である場合には、
:a\frac + c\frac + e\frac \text= 0
が得られる。
これは、楕円体の方程式 ++-1=0 と対応している。
いちばん簡単な例は,
:\triangle u=f(x)
のようなラプラス方程式である。
== 関連項目 ==

* 楕円型作用素
* 双曲型偏微分方程式
* 放物型偏微分方程式


抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「楕円型偏微分方程式」の詳細全文を読む



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