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二面体群[にめんたいぐん]
二面体群（にめんたいぐん、）とは、正多角形の対称性を表現した数学的対象である。より正確には、正多角形を自分自身に移す合同変換全体の成す群のことである。そのような合同変換は、回転と鏡映の二種類がある。二面体群は、有限非可換群の最も単純な例であり、群論、幾何学、化学などの分野において重要な役割を果たす。類似の概念は、3次元以上の正多面体や正多胞体に対しても与えることができる。「二面体」とは、正多角形を3次元空間内で見て裏表の区別を付けたもの、といった意味合いである。
== 定義 ==
=== 群の元 ===
正 ''n'' 角形は 2''n'' 通りの合同変換で不変である。内訳は、''n'' 通りの回転と ''n'' 通りの鏡映である。これらが二面体群を構成する元である。''n'' 通りの回転とは、θ = 360°/''n'' に対して θ の回転、2 × θ の回転、…、''n'' × θ の回転の ''n'' 個である。最後のものは 360°の回転であるから、何もしないのと同等であり、これが二面体群の単位元である。鏡映の方は、''n'' が偶数か奇数かによって多少状況が異なるが、いずれにせよ、正 ''n'' 角形は ''n'' 個の対称軸に関して線対称である。実際、''n'' が奇数のときには、対称軸として、ひとつの頂点と向かい合う辺の中点を結んだ直線が ''n'' 本取れる。''n'' が偶数のときには、正 ''n'' 角形の対称軸として、向かい合う頂点を結んだ直線が ''n''/2 本、向かい合う辺の中点を結んだ直線が ''n''/2 本の合計 ''n'' 本が取れる。これら ''n'' 本の軸に関する対称移動と、''n'' 個の回転を合わせた 2''n'' 個の合同変換の集合を ''D''''n'' あるいは Dih''n'' と書く。元が 2''n'' 個であることを強調するために、添え字を 2''n'' とする流儀もある。
抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』
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英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Dihedral group 」があります。
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